数值分析课件第八章-数值积分

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1、1.最小二乘逼近前一次课内容回顾2.矛盾方程组的解法第八章数值微分和数值积分数值微分数值积分（Newton-Cotes求积公式）复合求积公式龙贝格（Romberg）方法8.1数值微分对于积分但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:如果知道f(x)的原函数F(x)，则由Newton-Leibniz公式有（1）f(x)的解析式根本不存在,只给出了f(x)的一些数值;（2）f(x)的原函数F(x)求不出来,如F(x)不是初等函数;（3）f(x)的表达式结构复杂,求原函数较困难。以上这些现象，Newton-Leibniz公式很难发挥作用，只能建立积分的近似计算方法。插值型数值微分公式8.2数值

2、积分上式称数值求积公式。由定积分的定义知，定积分是和的极限，若用和式近似，则可表示为基本思想：利用积分区间上一些离散点的函数值的线性组合计算定积分的近似值。无需寻求原函数。为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义，就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立。因此定义代数精度的概念:定义1.若求积公式则称该求积公式具有m次的代数精度。代数精度也称代数精确度使其代数精度尽量高，并指出其代数精度。例设有求积公式试确定系数解：令公式依次对都精确成立，即故该求积公式应为对有即对也精确成立，但对不能精确成立，因此该求积公式具3次代数精度。解得若已知函数f(x)在[a,b]上一组节点值a≤x0

3、

4、则有dx=hdt，xk-xj=(k-j)h，x-xj=(t-j)h，所以插值型求积公式化为称Newton-cotes公式，式中ck(n)称柯特斯系数。记2.梯形(trapezia)公式及其余项Cotes系数为求积公式为上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为梯形公式的余项为即几何意义如右图：第二积分中值定理梯形(trapezia)公式具有1次代数精度。故3.Simpson公式及其余项Cotes系数为求积公式为上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式。记为Simpson公式的余项：Simpson公式具有3次代数精度。即4.Cotes公式及其余项Cotes系数为求积公式为上式称为

5、Cotes求积公式，也称五点公式。记为Cotes公式的余项：Cotes公式具有5次代数精度。注：n8时，Cotes系数出现负数，会引起误差增大，计算不稳定。因此，在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式，而是采用低阶复合求积法。Cotes系数表：nCk(n)1234581/21/21/64/61/61/83/83/81/87/9016/452/1516/457/9019/28825/9625/14425/14425/9619/288…………989/283505888/28350-928/2835010496/28350-4540/28350…偶阶求积公式的代数精度研究Simp

6、son公式，是二阶Newton-Cotes公式，因此至少具有二次代数精度。将f(x)=x3代入Simpson公式：直接对f(x)=x3求积，得有I2(f)=I，又易证Simpson公式对f(x)=x4不能够准确成立。故Simpson公式具有3次代数精度。定理：当n为偶数时，Newton-Cotes公式至少具有n+1次代数精度。证明：只要验证当n为偶数时，公式对f(x)=xn+1余项为零即可。由余项公式又故一般地，可以证明下述论断：此时，被积函数是奇函数，故R[f]=0。证毕。若n为偶数，则n/2为整数，再令t=u+n/2，得引进变换x=a+th，则xj=a+jh，8.3复合求积公式将[a,b

7、]n等分，h=(b-a)/n，在每个子区间[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上采用梯形公式，得1、复合梯形公式－－复合梯形公式记复合梯形公式的余项：由于即有由得设被积函数f(x)∈C2[a,b]，将[a,b]n等分，在每个子区间[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上采用Simpson公式，若记xk+1/2=xk+h/2，则可得复合Simpson公式形式为2、复合Simpson公式复合Simp