数值分析6-数值积分培训课件.ppt

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1、数值分析6-数值积分数值求积的基本思想依据积分中值定理，对于连续函数f（x），在［a，b］内存在一点ξ，成立就是说，底为b-a而高为f（ξ）的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积I.问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确地算出f（ξ）的值.我们称f（ξ）为区间［a，b］上的平均高度.这样，只要对平均高度f（ξ）提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法.数值求积的基本思想分别用f(a)，f(b)和近似f()可得左矩形公式右矩形公式中矩形公式求积公式的基本思想若用f(a)和f(b)的算术平均值近似f()，则可得梯形公

2、式若用f(a),f([a+b]/2)和f(b)的加权平均值近似f()，则可得辛甫生公式一般求积公式更一般地，可以用f(x)在[a,b]上的一些离散点上的值加权平均作为f()的近似值，从而构造出求积节点求积系数机械求积法：求积系数仅仅与结点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x)的具体形式机械求积的问题描述已知n+1个x以及在这些x上的函数值求解此函数在某个区间的积分值如何衡量这个公式的好坏？代数精度定义如果对于所有次数不超过m的多项式f(x)，公式精确成立，但对于某一次数为m+1的多项式不精确成立，则称该求积公式的代数精

3、度为m次。要验证一个求积公式具有m次代数精度，只需验证对f(x)＝1,x,x2,…,xm精确成立，但对f(x)＝xm+1不精确成立即可，即：(k=0,1,…,m)已知：求积公式对于xk（k=0，1，…，m）均能准确成立求证：求积公式对于对于次数不超过m的多项式均能准确成立证明：由已知条件知（k=0，1，…，m）证明两种说法的等价性则即：求积公式对于对于次数不超过m的多项式均能准确成立举例（一）例：试确定系数i，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。解：将f(x)＝1,x,x2代入求积公式，使其

4、精确成立得解得0=1/3,1=4/3,2=1/3，所以求积公式为易验证该公式对f(x)＝x3也精确成立，但对f(x)＝x4不精确成立，所以此求积公式具有3次代数精度。矩形和梯形公式的代数精度容易验证：左矩形公式和右矩形公式具有零次代数精度中矩形公式和梯形公式具有一次代数精度特别地，具有m(0)次代数精度的求积公式满足：辛甫生公式具有三次代数精度如何求解求积公式我们可以用代数精度作为标准来构造求积公式.譬如两点公式式中含有两个待定参数A0，A1，令它对于f（x）=1，f（x）=x准确成立，有解之得A0=A1=（b-a）/

5、2.这说明，形如（5）且具有一次代数精度的求积公式必为梯形公式（1）.这一论断从几何角度来看是十分明显的.如何求解求积公式如何求解求积公式如果求积节点并没有确定，则待定参数有几个？有2n+2个能够达到的代数精度是多少？2n+1个此时的方程为非线性方程思考题插值型求积公式基本思想由已知的n+1个点以及在这n+1个点上的函数值，作拉格朗日插值，得到pn(x)则插值型求积公式设f(x)在节点上的函数值为f(xi)，作n次拉格朗日插值多项式于是有其中。插值型求积公式误差：插值型求积公式由于n次拉格朗日插值对f(x)＝1,x,x2,…,

6、xn精确成立，所以n次插值型求积公式的代数精度至少为n次。代数精度：反之，如果求积公式的代数精度至少为n次，则它必定是插值型的。简证：求积公式对拉格朗日插值基函数lk(x)精确成立，即有定理求积公式至少具有n次代数精度的充要条件是：它是插值型的。结论定理1形如（4）的求积公式至少具有n次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的.问题：（1）如何判定一个求积公式是插值型的？（2）如何求作一个插值型的求积公式？例题1试检查下列求积公式的代数精度：解直接检查易知，原式对于准确成立，但当时其左端=1/5，而右端=左右两端不相等，故所给求

7、积公式仅有三阶精度。例题2试构造下列求积公式，使其代数精度尽量高，并证明所构造出的求积公式是插值型的：例题2例题3构造下列形式的插值型求积公式，并指明该求积公式所具有的代数精度：求积公式的设计试设计求积公式例题2例题3试设计求积公式例题4试设计求积公式例题5试设计求积公式此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢