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1、2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺（7）1、整数，且，则分别为 。2、.均为非负实数，则 的最小值为 。3、已知集合，其中，且。若正整数，且，符合条件的有个4、记，则的最小值是5、集合的容量是指集合中元素的和．则满足条件“，且若时，必有”的所有非空集合的容量的总和是．（用具体数字作答）6、为的单调递增数列，满足，则 。7、设为方程的根（），则 。8、如图，记从“田字型”网格（由4个边长为1的正方形构成）的9个交点中任取3个构成三角形的面积记为ξ（当所取3点共线时，ξ＝0），则ξ的数学
2、期望=9、（本题16分）求函数的最大值和最小值．10、（本题20分）设x，y，z为正实数，求函数的最小值。11、（本题20分）n2(n≥4)个正数排成n行n列a11a12a13a14……a1na21a22a23a24……a2na31a32a33a34……a3na41a42a43a44……a4n…………………an1an2an3an4……ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24=1,a42=，a43=,求a11+a22+a33+…+ann.（1990年全国高中数学联赛试题）2011年全国
3、高中数学联赛模拟题冲刺（7）（二试）1、（本题40分）如图，已知△ABC的外角∠EAC的平分线与△ABC的外接圆交于点D，以CD为直径的圆分别交BC，CA于点P、Q，求证：线段PQ平分△ABC的周长。（2006浙江集训）2、（本题40分）将正奇数集合{1，3，5，…}从小到大按第n组有(2n－1)奇数进行分组：{1},{3,5,7},{9,11,13,15,17},…（第1组）（第2组）（第3组）问2011位于第几组中？3、（本题50分）设有数列，且当时，求证：对一切，.4、（本题50分）一群科学家在一个研究所工作.在某天的
4、8小时工作时间内，每个科学家都至少去过一次咖啡厅.已知对于每两个科学家，恰有他们中的一个出现在咖啡厅中的时间总和至少为小时.求出在研究所中工作的科学家人数的最大可能值(依赖于).2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺（7）参考答案一试1、解：方程两边同乘以８，得。 因为，所以要使左边为奇数，只有，即。则。要使左边为奇数，只有，即。从而有 ，即。故有。答案为 。2、解：在直角坐标系中，作点，，，，。则Ｉ＝ ＝＋＋＋ （应用三角不等式）＋＋＋＝2010。如果取，即，那么Ｉ取到最小值2010。3、个.转化为进制。∵，故＝，,中以
5、的数有个的数有个，的数最大到，有个。中，故中。从而，满足要求的数有个。∵＝，不小于小的数有个满足要求的数有1004－＋１＝662．4、设动点与，则，点的轨迹为直线，点的轨迹为双曲线，双曲线上的任一点到直线的距离，当时等号成立．故的最小值为．5、224．先找出满足条件的单元素和二元素的集合有：，，，，将这四个集合中的元素任意组合起来也满足要求，则所有符合条件的集合A中元素的总和是：．6、解： （由题意可知取正号。）因此，公差为２的等差数列，即。从而可得。 7、解： 由题意，。由此可得 ，，以及 。。8、ξ0P，9、解：∵，
6、令，若即，则，当时，；当时，．若即，则，当时，；当时，．综上，函数的最大值为２，最小值为．10.解：在取定y的情况下，≥．其中等号当且仅当时成立．同样，其中等号当且仅当z=时成立．所以=．其中第二个不等式中等号当且仅当y=号时成立．故当x=，y=，z=等时，f(x，y，z)取得最小值194+112．11.设第一行数列公差为d，各列数列公比为q.因为2a43=a42+a44,所以a44=2a43－a42=2×－=.又因为a44=a24·q2=q2,所以q=,于是有解此方程组，得d=,a11=.对于任意的1≤k≤n,有二试1、证
7、：如图，连结DB、OP、DQ，因∠ABD+∠ACD，∠EAC=∠ABC+∠ACB，则∠EAC=∠DBC+∠DCB，即：2∠DAC=∠DBC+∠DCB；又∠DAC=∠DBC，则：∠OBC=∠DCB；故△DBC为等腰三角形，因OP⊥BC，则CP=BC。在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理得：AC·BD=BC·AD+AB·CD，因BD=CD，则：AC-AB=，又DQ⊥AC，则△ADQ∽△BDP，所以，即：AQ=。故AC-AB=2AQ，即AQ=。从而：CQ+CP=（AC-AQ）+BC=（AC-BC=(AB+BC+CA)。2、因为1
8、+3+5+…+(2n－1)=n2所以前n组共含有奇数n2个，第n组最后一个数即第n2个奇数为2n2－1,第n组第一个数即第n－1组最后一个数后面的奇数为[2(n－1)2－1]+2=2(n－1)2+1.由题意，有不等式2(n－1)2+1≤1991≤2n2－1.解得(n－1)2≤995且n2≥
