冲刺全国高中数学联赛综合训练四

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1、冲刺全国高中数学联赛·综合训练四第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知。则对任意k＞0，必有()．的值不确定2．设椭圆的一个焦点为F，点P在Y轴上，直线PF交椭圆于点M、N，。则实数=()．3．指数函数和对数函数(其中a＞0，a≠1)的图像分别为C1、C2，点M在曲线C1上，线段OM(O为坐标原点)交曲线C1于另一点N．若曲线C2上存在一点P，且点P的横坐标与点M的纵坐标相等，点P的纵坐标是点N横坐标的2倍，则点P的坐标为()．4．如图1，在直三棱柱ABC—A1BlCl中，AA1=AB=AC，M、Q分别是CC1、BC的中点．如果对线段A1B

2、1上任意一点P，都有PQ⊥AM，则∠BAC等于()．(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°5．如图2，在△ABC的边上做匀速运动的三个点P、S、R，当t=0时，分别从A、B、C出发，当t=ls时，恰好同时到达B、C、A．那么，这个运动过程中的定点是△PQR的()．(A)内心(B)外心(C)垂心(D)重心6．口袋中放有20个球，其中白球9个、红球5个、黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于3个不多于7个、红球不少于2个不多于5个、黑球不多于3个的取法种数是()．(A)14(B)24(C)13(D)36二、填空题(每小题9分，共54分)1

3、．使得能被n+2整除的正整数n的个数是______。2．已知△ABC的周长为l6．那么，将该三角形绕一边旋转所得旋转体的体积最大时，△ABC的三边长为________。3．没。则对给定的正整数n，________。4．如图3，M、N分别是正六边形ABCDEF的对角线AC、CE的内分点，且。若B、M、N三点共线，则λ=________。5．对所有正实数a、b、C、d都有的实数x=________。6．设l≤r≤n．则集合的所有含r个元素的子集中最小数的算术平均数为________。三、(20分)设实数a、b。求证：对任意正整数m，都有四、(20分)(1

4、)设A、B为常数．如果对于任意n∈N，都有，求证：A=B．(2)设是定义在区间上的单调函数，且对于任意，都有求证：。五、(20分)过双曲线的中心0作两条互相垂直的射线，交双曲线于A、B两点．试求：(1)弦AB的中点P的轨迹方程；(2)双曲线的中心0到直线A曰的距离；(3)弦AB长度的最小值．第二试一、(50分)给定正整数m、n(m≤n)，令。求满足下述条件的映射的个数：(1)f恰好取m个值；(2)如果k、l∈A，k≤Z，那么，。二、(50分)已知半径为r的⊙01与半径为R的⊙O内切于D，△ABC内接于⊙0，且AB、AC分别与⊙01相切于P、Q，AO1

5、与PQ的交点为M．求证：M为△ABC的内心．三、(50分)证明：任意正奇数m总能整除一个各位数字均为奇数的整数．