固体物理计算题(改).docx

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1、计算题2-7Considerthefreeandindependentelectrongasintwodimensions1)FindtherelationbetweentheFermiwavevectorkFandtheelectronnumberdensityn,wherenisthenumberofelectronsperunitarea.找波矢KF与电子密度n的关系。2)Computethefreeelectrondensityofstatesg(E)intwodimensions.计算二维的自由电子的态密度g(E)。波矢k的分布密度为ρ(k)=N/S=N(

2、sa/4π²)=S/4π2∴波矢k的取值总数为ρ(k)·πk2∴电子能态总数Z(E)=2ρ(k)·πk2∵能量E=(hk)2/2m∴Z(E)=2ρ(k)·π·2mE/h2=2(S/4π2)·π·2mE/h2=SmE/πh2∴自由电子的态密度g(E)=dZ(E)/dE=Sm/πh2∴系统的总电子数N=∫0∞g(E)·f(E)dE=∫0EFg(E)dE=∫0EFSmE/πh2dE=SmEF/πh2（其中f(E)为费密分布类似概率密度）∴EF=Nπh2/Sm=(πh2/m)n又∵EF=(hkF)2/2m∴(hkF)2/2m=(πh2/m)n∴kF2=2πn3-5Acry

3、stalhasabasisofoneatomperlatticepointandasetofprimitivevectors(in10-10m)一个晶体有一组基矢a=3ex,b=3ey,c=3(ex+ey+ez)/2,whereex,ey,andezareunitvectorsinthex,y,andzdirectionsofaCartesiancoordinatesystem.ex，ey和ez分别是直角坐标系坐标轴的单位矢量1)WhatistheBravaislatticetypeofthiscrystal?是什么布拉菲晶格？2)Computethevolumes

4、oftheprimitiveandconventionalunitcells.计算初基原胞和惯用原胞的体积。∵a+b-c=3(ex+ey-ez)/2，c-b=3(ex-ey+ez)/2，c-a=3(-ex+ey+ez)/2∴这是体心立方∵初基原胞的体积Ω=a·(b×c)=27/2∵体心立方的惯用原胞体积是初基原胞的两倍∴Ω2=2Ω=2711-5ConsideradiatomicmoleculeduetothevanderWaalsbond.考虑一个由范德瓦尔键形成的二原子分子。1)ShowthattheequilibriumseparationisgivenbyR0

5、=21/6σ.证明平衡距离是R0=21/6σ。2)FindthestrengthofthevanderWaalsbondinthemolecule.找出这个分子的范德瓦尔键的势能。证明：根据范德瓦尔键的势能表达式U(R)=(B/R12)-(A/R6)假设B=4εσ12，A=4εσ6用变量ε，σ代替A，B∴U(R)=4ε[(σ/R)12-(σ/R)6]∵相互作用力f(R)=-dU(R)/dR∴当平衡时f(R0)=-dU(R)/dR

6、R=R0=4ε(12σ12R0-13-6σ6R0-7)=24εσ6R-7(2σ6R0-6-1)=0∴R0=21/6σ由上面证明知R0=21

7、/6σ∴代入U(R0)=4ε[(σ/R0)12-(σ/R0)6]=4ε(2-2-2-1)=-ε∴范德瓦尔键的势能是大小为ε的吸引能12-3Thetotalenergyofathree-dimensionalioniccrystalisgivenby三维离子晶体的总势能是U(R)=(NA/R12)-(NαZ2e2/4πε0R)WhereNisthenumberofionpairsandRthenearest-neighbordistance.N是离子对的数量，R是最近距离。1)Deriveanexpressionoftheequilibriumvalueofthene

8、arest-neighbordistance.求平衡时最近距离表达式。2)Computethebindingenergyperionpairinequilibrium.计算在平衡时每对离子对的键能。根据相互作用力f(R)=-dU(R)/dR∴平衡时f(R0)=-dU(R)/dR

9、R=R0=12NAR-13-(NαZ2e2/4πε0R2)=0∴R0=(48πε0A/2Z2e2)1/11∴把R0代入U(R)中U(R0)=(NA/R12)-(NαZ2e2/4πε0R)又∵12NAR-13-(NαZ2e2/4πε0R2)=0∴NαZ2e2/4πε0=12NAR-11或N