固体物理重点计算题详细解答

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1、1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：由倒格子基矢的定义：，同理可得：即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。所以，面心立方的倒格子是体心立方。（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：由倒格子基矢的定义：，同理可得：即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。所以，体心立方的倒格子是面心立方。1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为的晶面系，面间距满足：，其中为立方边长.解：简单立方晶格

2、：，由倒格子基矢的定义：，，倒格子基矢：倒格子矢量：，晶面族的面间距：2.1、证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为（）。证明：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r表示相邻离子间的距离，于是有前边的因子2是因为存在着两个相等距离的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为当X=1时，2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为试求：（1）平衡间距；（2）

3、结合能（单个原子的）；（3）体弹性模量；（4）若取，计算及的值。解：（1）求平衡间距r0由，有：结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w表示）（2）求结合能w（单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即Umin即：（可代入r0值，也可不代入）（3）体弹性模量由体弹性模量公式：（4）m=2，n=10，，w=4eV，求α、β①②

4、将，代入①②详解：（1）平衡间距r0的计算晶体内能平衡条件，，（2）单个原子的结合能，，（3）体弹性模量晶体的体积，A为常数，N为原胞数目晶体内能由平衡条件，得体弹性模量（4）若取，，，3.2、讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N个格波解，当=时与一维单原子链的结果一一对应。解：质量为的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……；质量为的原子位于2n，2n+2，2n+4……。牛顿运动方程N个原胞，有2N个独立的方程设方程的解，代回方程中得到A、B有非零解，，则两种不同的格波的色散

5、关系一个q对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.当时，两种色散关系如图所示：长波极限情况下，，与一维单原子晶格格波的色散关系一致.3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为和，令两种原子质量相等，且最近邻原子间距为。试求在处的，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如这样的双原子分子晶体。（注：课本中的c即为此题中的βk对应q)答：（1）浅色标记的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……；深色标记原子位于2n，2n+2，2n+4……。第2n个原子和第2n＋

6、1个原子的运动方程：体系N个原胞，有2N个独立的方程方程的解：，令，将解代入上述方程得：A、B有非零的解，系数行列式满足：因为、，令得到两种色散关系：当时，，当时，，（2）色散关系图：44.2、写出一维近自由电子近似，第n个能带(n=1，2，3)中，简约波数的0级波函数。＜解＞第一能带：第二能带：第三能带：4.3、电子在周期场中的势能．0，其中d＝4b，是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度．＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．(2)势能的平均值：由图可见，是个以为周

7、期的周期函数，所以题设，故积分上限应为，但由于在区间内，故只需在区间内积分．这时，，于是。（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数利用积分公式得第二个禁带宽度代入上式再次利用积分公式有51、设有一维晶体的电子能带可写成，其中为晶格常数，是电子的质量。(注：课本无第一问）试求（1）能带宽度；（2）电子在波矢k状态的速度；（3）带顶和带底的电子有效质量。解：（1）=[－coska+(2cos2ka－1)]＝[(coska－2)2－1]当ka＝(2n+1)p时,n=0,±1,

8、±2…当ka=2np时,能带宽度＝（2）(3)当时,带底，当时,带顶，