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1、第十四章 导数及其应用第一节 导数的概念及其几何意义备考方向明确方向比努力更重要知识链条完善把散落的知识连起来网络构建平均2.几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的.3.物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,就是该质点在[x1,x2]上的速度.斜率平均(2)几何意义函数f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为.切线的斜率y-f(x0)=f′(x0)
2、(x-x0)1.概念理解(1)导数即为自变量改变量趋近0时,函数平均变化率的极限.(2)f′(x0)表示函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常数,其导数一定为0,即(f(x0))′=0.(3)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,切线斜率为k=f′(x0)的切线,是唯一的一条切线.曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.(4)曲线未必在其切线的“同侧”,例如直线y=0(
3、即x轴)是曲线y=x3在点(0,0)处的切线.(5)直线与曲线公共点的个数不是曲线的切线的本质特征,直线与曲线只有一个公共点,不能说明直线就是曲线的切线,反之,直线是曲线的切线,也不能说明直线与曲线只有一个公共点,例如曲线y=x3在点(1,1)处的切线y=3x-2与曲线y=x3还有一个交点(-2,-8).拓展空间2.与导数几何意义有关的结论(1)切点既在曲线上,也在切线上,切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程.(2)求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程,点P(x0,f(x0))为切点,当切线斜率存在(即f(x)
4、在x=x0处可导)时,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);当切线斜率不存在(即f(x)在x=x0处不可导)时,切线方程为x=x0.(3)已知曲线f(x)的切线斜率为k,则切点(x0,f(x0))的横坐标x0就是方程f′(x0)=k的解.(4)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.(5)周期函数的导数仍是周期函数,其周期与原函数的周期相同.三、基本初等函数的导数公式αxα-1cosx-sinxaxlnaex拓展空间公式理解利用公式求导时要特别注意不要将幂函数与指数函数的导数公式混淆,幂函数的求导公式为(xn)′
5、=nxn-1,而指数函数的求导公式为(ax)′=axlna.温故知新1.若物体的运动方程是s=t3+t2-1,t=3时物体的瞬时速度是()(A)27(B)31(C)39(D)33解析:因为v=s′=3t2+2t,所以此物体在t=3时的瞬时速度为3×32+2×3=33.故选D.D2.曲线y=x3在原点处的切线()(A)不存在(B)有1条,其方程为y=0(C)有1条,其方程为x=0(D)有2条,其方程为x=0和y=0BA4.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为()(A)4x-y-3=0(B)x+4y-5=
6、0(C)4x-y+3=0(D)x+4y+3=0A5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=.解析:由题意知切线的斜率k=f′(5)=-1,f(5)=-5+8=3,所以f(5)+f′(5)=3-1=2.答案:26.已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率为.高频考点突破在训练中掌握方法考点一 平均变化率迁移训练已知一质点的运动方程是s(t)=8-3t2,则该质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度是()(A)-6-3Δt(B)-6+3Δt(C)8-3Δt(D)8+3ΔtA考点二
7、 导数的概念【例2】(1)设函数f(x)=ax+3,若f′(1)=3,则a等于()(A)2(B)-2(C)3(D)-3反思归纳(1)根据导数的定义,求函数y=f(x)在x=x0处导数的步骤①求函数值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)求函数y=f(x)的导数与求函数在某点处的导数的方法一致,只是把x0换成x.(3)求f′(x0)时,可先求f′(x),再将x=x0代入求值.迁移训练考点三 基本初等函数导数公式的应用【例3】下列各式正确的是()(A)(sinα)′=cosα(α为常数)(B)(cosx)′=sinx(C)(
8、sinx)′=cosx(D)(x-5)′=-x-6解析:由导数运算法则易得,注意A选项中的α为常数,所以(sinα)′=0.故答案为C.反思归纳熟记基本初等函数导数公式是求导数的关键.迁移训练CD考点四 正确理解导数的几何意义【例4】(1)函数f(
