另类夹逼法切线夹逼法.docx

《另类夹逼法切线夹逼法.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、１４数学通讯———２０１６年第３期（上半月）·辅教导学·以下同解法三．点评利用柯西不等式直接将多元问题进行转化．总之，多元变量的最值问题通常可以利用上述方法转化为一元问题，达到减元的目的，从而使问题得到解决．例３（江苏省泰兴市２０１５年教师基本功考试题）在某一平面内有任意不同的三点Ａ，Ｂ，Ｃ，已知ＡＢ＝ｃ，ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，则ｃ＋ｂ的最ａ＋ｂｃ小值为．分析由于ｃ＋ｂ中字母只在分母中ａ＋ｂａｃ出现一次，可先用ａ≤ｂ＋ｃ放缩一次减少一个字ｃ＋ｂ＝１＋ｂｂ２ｂ＋ｃｃ·＋１ｃ２ｃ＝１＋ｘ＝１＋ｘ＋１－１２ｘ＋１２ｘ＋１２２≥２槡１·（ｘ＋１）－１２ｘ＋１２２＝槡２－１２．故当ａ＝

2、ｂ＋ｃ，且ｂ＝槡２－１时，ｃ＋ｂｃ２ａ＋ｂｃ取得最小值槡２－１２．以下两题留给读者练习：１．若关于ｘ的方程ｘ２＋ａｘ＋ｂ＝０有不小于母，得ｃ＋ｂ≥ｃ＋ｂ＝ｃ＋ｂ．２的实根，则ａ＋ｂ的最小值为．２２ａｂｃｂｃｂｃ２ｂｃｃ若关于的方程４３２＋＋＋＋ｘｘ＋ａｘ＋ｂｘ＋ａｘ＋１２．通过换元设ｂ则则可再减少一有实根，则２２的最小值为０ａｂ．，，，ｘ＝ｃｘ＞０＝＋个字母变为一元函数，利用基本不等式即可求（收稿日期：２０１５－１２－０８）解，即另类“夹逼法”———切线“夹逼法”朱传美（江苏省兴化市戴南高级中学，２２５７２１）我们知道：ｘ２≤０（ｘ∈Ｒ）ｘ＝０，这就是一个简单的夹逼法．“夹逼

3、法”能很巧妙地处理一些实数求值问题，在高考题或模拟题中多有体现．在解题中，笔者发现：在某些函数试题中，切线同样体现着“夹逼法”的思想，收到意想不到的解题效果．例１已知ｌｎｘ≤ａ（ｘ－１）对一切ｘ＞０恒成立，则ａ的取值范围为．变量分离是处理此类问题的常用方法，直接移项，构造函数ｈ（ｘ）＝ｌｎｘ－ａ（ｘ－１），即得如下解法１．解法１设函数ｈ（ｘ）＝ｌｎｘ－ａ（ｘ－１）（ｘ＞０），则ｈ′（ｘ）＝１－ｘａｘ．（１）当ａ≤０时，对一切ｘ＞１，有ｈ（ｘ）＞０，不符合题意；（２）当ａ＞０时，由ｈ′（ｘ）＝１－ａｘ＝０ｘ＝ｘ１１，可知：（）（）在（，）上单调ａｈｘ＝ｌｎｘ－ａｘ－１０ａ１递

4、增，在（，）上单调递减，所以［（）］＝ａ＋∞ｈｘｍａｘ１１１１，由题意（）（）ｈａ＝ｌｎ－ａａ－１＝ｌｎ＋ａ－１ａａ知ｌｎ１＋ａ－１≤０①ａ设函数（）１（），则（）ｇａ＝ｌｎ＋ａ－１ａ＞０ｇ′ａａ＝－１＋１＝ａ－１，易得：（）１＋ａ－１在ａａｇａ＝ｌｎａ·辅教导学·数学通讯———２０１６年第３期（上半月）１５（，）上单调递减，在（，）上单调递增，所以分析在证明（）时，我们常直接构造０１１＋∞ｆｘ≤２ｘ－２（）１（）函数：（）（），通过导数研究函数ｈｘ＝ｆｘ－２ｘ＋２ｙｇａ＝ｌｎ＋ａ－１≥ｇ１＝０②ａ（）的单调性，再证明：函数（）恒由式和式可得故有＝ｈｘｙ＝ｈｘ≤０１成立就行了

5、，这正是高考所给出的参考答案实际①②：，．ｌｎａ＋ａ－１＝０上，借助两曲线的公切线，能很好地处理此题，证ａ＝１．明如下．所以，实数ａ的取值范围为１．证明（），，过程略｛｝．评析直接构造函数，分类讨论是必不可少１ａ＝－１ｂ＝３（）要证（），即证２的，最后借助“夹逼法”求得了实数ａ的取值范围．２ｆｘ≤２ｘ－２ｘ＋ｘ－２≥３ｌｎｘ．上述解法从代数的角度借助“夹逼法”求得ａ设函数（）２，（）的取值范围，那为什么实数ａ只能取１呢？有其背ｇｘ＝ｘ＋ｘ－２ｈｘ＝３ｌｎｘ．易得：当ｘ＝１时，（）（），而函数后的几何意义吗？ｇｘ＝ｈｘ＝０（）２与函数（）的图象在ｇｘ＝ｘ＋ｘ－２ｈｘ＝３ｌｎｘ点

6、（，）处的切线均为，即直线ｙ＝３ｘ１０ｙ＝３ｘ－３－３为两函数（）２，（）的ｇｘ＝ｘ＋ｘ－２ｈｘ＝３ｌｎｘ图象的公切线．结合图象（如图）易得：（）２ｇｘ≥３ｘ－３≥（），且（）与（）同时在ｈｘｇｘ＝３ｘ－３ｈｘ＝３ｘ－３ｘ＝１时成立．图１在同一直角坐标系中作出函数ｙ＝ｌｎｘ和函数ｙ＝ｘ－１的图象，如图１所示，经计算，可知函数ｙ＝ｌｎｘ的图象与直线在点（，）处ｙ＝ｘ－１１０相切，且恒成立，所以，在（ｌｎｘ≤ｘ－１ｌｎｘ≤ａｘ－）中，实数ａ只能取１．１当然，由函数ｘ与函数在点（，ｙ＝ｅｙ＝ｘ＋１０图２）处相切，可得如下变题：１所以：（）（），即（）成立变题已知ｘ（），则ａ的取值范

7、围ｇｘ≥ｈｘｆｘ≤２ｘ－２．ｅ≥ａｘ＋１评注如果不用图形来说明，也可以直接通为．过代数分析来证明不等式前面借助函数的一条切线很好地处理了例（）（），，ｇｘ≥３ｘ－３≥ｈｘ１这是简单的．当然借助两个函数的公切线同样能处理一些类似实际上，（）即２问题．ｇｘ≥３ｘ－３ｘ＋ｘ－２≥３ｘ－２（２，显然成立；例（年辽宁卷）设函数（）３ｘ－２ｘ＋１≥０）２ｘ－１≥０２０１１ｆｘ＝ｘ＋（）即３ｘ－３≥３ｌｎｘｌｎｘ≤ｘ－２，曲线（）过（，），且在点Ｐ处３ｘ－３≥ｈｘａｘ＋ｂｌｎｘｙ＝ｆｘＰ１０，这也是我们熟悉的不等式．