基于黄金分割的夹逼一维寻优法

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1、基于黄金分割的夹逼一维寻优法　　论文关键词：夹逼一维寻优　黄金分割法　单峰函数　算法　优化设计　　论文摘要：本文在黄金分割法的基础上，提出了一种夹逼一维寻优法。该方法利用对分法选取给定搜索区间中点的原理，将区间对分为两个等分区间，在这两个区间内用黄金分割法同时进行搜索，然后再对这两个区间内所求得的函数值进行比较，运用“去劣存优”的原则，保留含优的搜索区间而摒弃含劣的搜索区间以同时从区间的两侧夹逼来逐步缩小搜索寻优区间，最终求得最优解。本文给出了具体的算法实施过程和算法证明，结合算法给出算例并进行了理论分析和比较,结果表明本算法思路清晰、编程简单、计算简化，可以有效地求得函数的最优解。　　

2、1引言　　从数学的观点看，工程中的各种优化问题都可以归结为求极大值或极小值问题。所谓优化设计[1]就是借助最优化数值计算方法和计算机技术求取工程问题的最优设计方案。在优化设计的寻优过程中，首先要根据实际设计问题的物理模型建立相应的数学模型，即用数学形式来描述实际设计问题。其次就是应用数学规划方法的理论[2]，以计算机作为工具，根据数学模型的特点选择最优化方法来求解数学模型，以确定最佳设计参数。在优化设计过程中，求一元函数的极小点和极小值问题就是一维优化问题。求解一维优化问题的方法称为一维优化方法[3]。一维优化法是优化问题中最简单、最基本的方法。因为它不仅可以解决单变量目标函数的最优化问

3、题，而且在求多变最目标函数的最大值时，大多数方法都要反复多次地进行一维搜索，用到一维优化方法。　　一维优化法中的黄金分割法[4]是使用最广泛、操作简单的一维寻优方法，这种方法是在一元单峰函数所定义的区间上按黄金分割率对称取得一系列的黄金分割点，然后对分割点所对应的函数值进行计算和比较，利用区间缩小的序列消去原理[5]，最终确定函数的最优解和对应的最优值。黄金分割法具有均匀的收敛速度，但每次迭代时只能使给定的搜索区间从单侧进行收缩，使得其收敛速度较慢，区间缩短率偏低。因此，本文利用黄金分割法具有均匀的区间缩小率的序列消去特性，提出一种可以使给定的搜索区间从双侧同时进行收缩的基于黄金分割的夹

4、逼一维寻优法。　　　2黄金分割法的基本原理　　　黄金分割法是用于一元函数在给定的初始区间内搜索极小点的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数[6]，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。具体步骤是：在区间内取点：，，和把分为三段。如果，令；如果，令，重新开始。因为为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小倍或倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜

5、索区逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。黄金分割法原理如图１所示，其中K＝，区间长度为L，该算法为收敛速度均匀的一维搜索方法。图1黄金分割法原理图Fig.1theprincipleofgolden-section　　3算法及其基本原理　　　3．1夹副一维寻优法的基本原理　　夹逼一维寻优方法是在黄金分割法的基础上，利用对分法[8]选取给定搜索区间中点的原理，将区间对分为两个等分区间，在这两个区间内用黄金分割法同时进行搜索，然后再对这两个区间内所求得的函数值进行比较，运用“去劣存优”的原则，保留含优的搜索区间而摒弃含劣的搜索区间以同时从区间的两侧夹逼来逐步缩小

6、搜索寻优区间，最终求得最优解。这种方法和黄金分割法一样，具有算法简单、收敛速度均匀的特点，此外还具有可以使给定的搜索区间以相等的速率从双侧同时进行夹逼收缩，收敛速度快、区间缩短率更高等优点，因而可以更大程度的发挥黄金分割法的优点来进行一维寻优。其基本思想是：在给定的初始区间上取得区间中点，用将区间对分为两个等分区间和，记为Ⅰ区间，为Ⅱ区间，在Ⅰ和Ⅱ区间上分别用黄金分割法进行一维寻优，对这两个区间内所求得的函数值进行比较。两个区间内所求得的函数值进行比较后有如下4种情况，具体比较如图2所示。图2区间Ⅰ和Ⅱ内函数值的比较情况Fig.2situationofparingthefunctionv

7、alueinregionⅠandⅡ　　（1）若为第①种情况，则保留Ⅰ区间，舍弃Ⅱ区间，然后将在Ⅰ区间内用黄金分割法求得的新的区间作为下一步寻优搜索区间；　　（2）若为第②种情况，则保留Ⅱ区间，舍弃Ⅰ区间，然后将在Ⅱ区间内用黄金分割法求得的新的区间作为下一步寻优搜索区间；　　（3）若为第③和第④种情况，则保留Ⅰ和Ⅱ区间，然后将用黄金分割法在Ⅰ区间内求得的新的区间的左端点和在Ⅱ区间内求得的新的区间的右端点所组成的新的整合区间作为下一步寻