分数的巧算教师版.docx

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1、分数的速算与巧算（一）分数巧算（求和）分数求和的常用方法：1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。典型例题一、公式法：计算：++++…++分析：这道题中相邻两个加数之间相差，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：（首项+

2、末项）×项数÷2来计算。++++…++=（＋）×2007÷2=二、图解法：计算：＋＋＋＋＋分析：解法一，先画出线段图：从图中可以看出：＋＋＋＋＋=1－=解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因此，只要添上一个加数，就能凑成，依次向前类推，可以求出算式之和。＋＋＋＋＋=＋＋＋＋＋（＋）－=＋＋＋＋（+）－……=×2－=解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大2倍，然后两式相减，消去一部分。设x=＋＋＋＋＋①那么，2x=（＋＋＋＋＋）×2=1+＋＋＋＋②用②－①得2x－x=1+＋＋＋＋－（＋＋＋＋＋）x=所以，＋＋＋＋＋=

3、三、裂项法1、计算：+＋＋＋＋……＋＋分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。再变数型：因为==1－，==－，==－，……，==-。这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。+＋＋＋＋……＋＋=1－＋－＋－＋……＋－＋-=1－=2、计算：＋＋＋……＋＋分析：因为=1－，=－，=－……=－，=－。所以，我们可以将题中的每一个加数都扩大4倍后，再分裂成两个数的差进行简便计算。＋＋＋……＋＋=（＋＋＋……

4、＋＋）÷4=（1－＋－＋－＋……＋－＋－）÷4=（1－）÷4=3、计算：21－－－－－－－－分析：因为=4×=4×=4×（1－）×,=4×=4×=4×(－)×,=4×=4×=4×(－)×,……=4×=4×=4×(－)×.所以，先用裂项法求出分数串的和，使计算简便。21－－－－－－－－=21－4×（1－+－+－＋……＋－）×=21－2×(1－)=194、计算：＋＋＋＋＋……＋＋分析：仔细观察后发现，每个加数的分子均比分母少1.这样可变形为：=1－=1－，=1－=1－，=1－=1－，=1－=1－，……，=1－=1－.然后再裂项相消。＋＋＋＋＋……＋＋=（1－）＋（1－）＋（1－）＋

5、(1－)＋……＋(1－)=1×99－(＋＋＋＋……＋)=99－(＋＋＋＋……＋)=99－(1－)=995、计算：1＋+……+分析：可以看出，第一项的分母为1，第二项的分母为两个数相加，依此类推，最后一个分母是100个数相加且都是等差数列。这样，利用等差数列求和公式，或利用分数基本性质，变分母为两个数相乘。再裂项求和。解法一：1＋+……+=+==2×（1－）=解法二：原式===2×（）=2×（1－）=6、计算：…＋分析：可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差：，，……，此时，可消中间，留两头进行巧算。原式=×（）＋×（）+……＋×（）=×（＋＋……＋）=×（）=四、分组法：计算

6、，+－－＋＋－－＋＋－……－－＋＋分析：算式中共有2002个分数，从第二个分数开始依次往后数，每四个分数为一组，到为止，共有500组，每组计算结果都是0.原式=+（－－＋）＋（－－＋）＋－……+（－－＋）＋=+=五、代入法：计算（1+）×（）－（1＋）×（）分析：可以把算式中相同的一部分式子，设字母代替，可化繁为简，化难为易。设=A，=B，则原式=（1+A）×B－(1+B)×A=B＋AB－A－AB=B－A=()－()=热点习题计算：1、【1】1、【】2、【】4、【】1、【】6、2+【41】7、【】7、【】9、【原式=1－＋－+-+－+－=1－（）+（）－()+…－（）=1－()

7、+()－()+…－()=1－=】10、+++－－－－＋＋＋…＋＋－－－－＋＋【从第三个分数开始依次往后数，每8个分数为一组，到最后一个分数为止，共有250组，每组计算结果都是0.所以，原式=+=】11、(1+)×（）－(1+)×()【设1+=A，=B，原式=A×（B+）－（A+）×B=】12、+…+（）【原式=+1++2+2+…+9=（+9）×19÷2=95】13、2001年是中国共产党建党80周年，是个有特殊意义的分数。如果下式大于，那么n最小等于多少？【1－＞，n＞】14、－……－【先对