导数的应用一(单调性).doc

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1、导数的应用(一)1．函数的单调性与导数2．函数的极值(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．(3)极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．3．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上

2、，函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？2．导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？3．函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？1．如图所示是函数f(

3、x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是(　A　)A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数B．函数f(x)在区间(－3,2)上是减函数C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D．函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数2．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是(　D　)A．(－∞，1]　　B．[1，＋∞)C．(－∞，0]D．(0，＋∞)3．设函数f(x)＝＋lnx，则(　d　)A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点4．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则

4、a的最大值是________．解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即a的最大值是3.答案：35．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．解析：f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－.答案：－考点一利用导数研究函数的单调性　[例1]设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(

5、2)求函数f(x)的单调区间．[自主解答]　(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x>0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当03时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2

6、f(x)在(2,3)上为减函数．故函数f(x)的单调递增区间为(0,2)和(3，＋∞)，单调递减区间为(2,3)．【互动探究】若函数f(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求k的取值范围．解：由题意知f′(x)＝2＋≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k≥(－2x2)max，又y＝－2x2在(1，＋∞)上单调递减，所以(－2x2)max＝－2，所以k≥－2，即k的取值范围是[－2，＋∞)．　　　　已知函数f(x)＝－2x2＋lnx，其中a为常数．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为

7、单调函数，求a的取值范围．解：(1)若a＝1，则f(x)＝3x－2x2＋lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－4x＋3＝＝(x>0)．当x∈(0,1)，f′(x)>0时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递增．当x∈(1，＋∞)，f′(x)<0时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0，即－4x＋≥0或－4x＋≤0在[1,2]上恒成立．即≥4

8、x－或≤4