导数的应用一(单调性)

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1、导数的应用（一）1.函数的单调性与导数2.函数的极值（1）极大值:在包含兀）的一个区间a方）内，函数）=/（劝在任何一点的函数值都小于心点的函数值，称点也为函数v=/u）的极人值点，其两数值血竝为函数的极人值.（2）极小值:在包含X0的一个区间ab）内，函数=心）在任何一点的函数值都大丁九点的函数值,称点型为函数）,=/（X）的极小值点，其函数值血Q）为函数的极小值.（3）极值:极人值与极小值统称为极值,极人值点与极小值点统称为极值点.3.函数的最值与导数⑴函数心）在⑷切上有最值的条件：一般地

2、，如果在区间［«,h］上，函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.（2）求函数）=心）在［a,b上的最大值与最小值的步骤为①求窗数y=fM^E（a,/?）内的极值；②将函数y=f（x）的各极值耳端点处的函数值心），弘）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.［?问题思考1.若函数心）在（G,b）内单调递增,那么一定有f（x）＞0吗？f（兀）＞0是否是心）在（a,b）内单调递增的充要条件？2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得

3、极值的什么条件？3.函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？卩F力‘!、试］〃〃〃〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/〃1.如图所示是两数/U）的导函数厂（兀）的图象，则卜列判断中正确的是（A）A•函数/(x)在区间(一3,0)上是减函数B.函数/⑴在区间(一3,2)上是减函数C.断数心)在区间(0,2)上是减函数D.函数您0在区间(一3,2)上是单调函数1.函数心)=『一兀的单调递增区间是(D)A.(一8,1］B.［1,23.设函数/(劝=;+lnx,贝U(A.兀=*为心)的极大值点C

4、.兀=2为心)的极大值点+°°)C.(―°°,0]d)B.x=^jf(x)的极小值点D.兀=2为/U)的极小值点D.(0,+8)1.已矢］f(x)=x3-ax^.［^+°°)上是增函数，贝％的最大值是解析：f⑴=3/-aN0,即又•."€［1,+oo),即a的最大值是3.答案：332.函数/⑴=〒+/—3兀一4在［0,2］上的最小值是解析：f2x-3,令f(x)=0得兀=1(兀=-3舍去)，又/(())=-4,/(1)=-y,/⑵=-10亍'故7W在［0,2］上的最小值是/(1)=-y.答案:

5、17T考点一利用导数研究函数的单调性［例1］役/W=a(x—5)2+61nx,其中qGR,曲线》=心)在点(1,/⑴)处的切线与y轴相交于点(0,6).⑴确定。的值；(2)求函数/U)的单调区间.［自主解答］⑴因为/U)=6/(x-5)2+61nx,故f(x)=2d(jc-5)+g令兀=1,得XI)=16«,f(l)=6-8f/,所以曲线y=f{x)在点(1,/(］))处的切线方程为y-6a=(6-8a)(兀-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8ay-6,故^=㊁.(2)由⑴知，f

6、(x)=

7、(x-5)2+61nx(x>0),了•*•f(x)=x-5+f=仗一爹-3)令f(x)=0,解得X=2,X2=3.当0<¥<2或x>3时，f(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+8)上为增函数；当2

8、x2)max>又y=-2x2在(1,+8)上单调递减，所以(-2%2)m2,+8).口变式训练7^+8)上恒成立，所以心(一-2,即k的取值范围是［-ar已知函数心)=于一2?+1",其中a为常数.(1)若0=1,求函数几丫)的单调区间：⑵若函数/U)在区间［1,2］上为单调函数，求a的取值范围.a1—4r~+3x+1解：⑴若则f(x)=3x-2x+Inx的定义域为(0，+^),f(兀)=二一钱+3=「'x—(4x+[)(x—1)——(x>0).当兀€(0,1),f(x)>0时，函数/(x)=3

9、x-2x2+lnx单调递增.当x€(b+°°)>f⑴vO时，函数./(x)=3x-2?+lnx单调递减.故函数几。的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1,+8).3i3I(2)ff(x)=--4^+-,若函数血:)在区间［1,2］上为单调函数，即在［1,2］上，f(兀)=一-徐+-30或aCIX3131313131f⑴廿徐+冃,即方F+产0或：F+?W0在［1,2］上恒成立.即严-：或評4「.令此)F3331532因为函数〃(兀)在［12］上单调递增，所以二2h(2)或二W/z(l),即