导数的应用(一)单调性.doc

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1、导数的应用(一)——单调性函数的单调性(1)设函数y＝f(x)在某个区间内，若f′(x)，则f(x)为增函数；若f′(x)，则f(x)为减函数．(2)求可导函数f(x)单调区间的步骤：①确定f(x)的；②求导数f′(x)；③令f′(x)0(或f′(x)0)，解出相应的x的范围；④当时，f(x)在相应区间上是增函数，当时，f(x)在相应区间上是减函数．例1　(1)求函数f(x)＝的单调区间．(2)求函数f(x)＝x＋2的单调区间．(3)求函数f(x)＝的单调区间．探究1　(1)求函数的单调区间注意先求定义域．(2)使f′(x)>0的区间为f(x)的增区间，使f′(x)<0的区间

2、为f(x)的减区间．思考题1　求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝(x－1)2－ln(x－1)2；(2)f(x)＝.例2　(2013·海淀区)已知函数f(x)＝e－kx(k<0)．求f(x)的单调区间．探究2　求含参数的函数单调性关键在于解含参数不等式时要合理分类讨论．思考题2　已知函数f(x)＝alnx＋＋x(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直，求实数a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)当a∈(－∞，0)时，记函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)≤e2.例3　(1)(2013·福州)已知函数f(x)＝l

3、n(x＋1)＋(a∈R)．①当a＝2时，求函数y＝f(x)的图像在x＝0处的切线方程；②判断函数f(x)的单调性；③若函数f(x)在(a，a＋1)上为增函数，求a的取值范围．(2)已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′()．①求a的值；②求函数f(x)的单调区间；③设函数g(x)＝[f(x)－x3]·ex，若函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围．探究3　不恒为0的函数f(x)在区间[a，b]为增函数，可转化为f′(x)≥0，在[a，b]上恒成立，或[a，b]是f′(x)≥0解集的子集．思考题3　(1)已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x

4、－a)，若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a的取值范围．(2)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋2在x＝1和x＝－3处取得极值．①求a、b的值；②能否将曲线y＝－3sinx经过上下平移使之与曲线y＝f(x)在x＝0处有相同的切线？若能，应怎样平移？若不能，请说明理由；③设函数g(x)＝f′(x)－mx＋m＋1，若

5、g(x)

6、在上是增函数，求实数m的取值范围．1．在某个区间(a，b)上，若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f′(x)＝0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f′(x

7、)的符号不确定，则f(x)不是单调函数．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．3．使f′(x)＝0的离散的点不影响函数的单调性.基础过关1．(2012·辽宁文)函数y＝x2－lnx的单调递减区间为________．2．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是先增后减的函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是(　　)3．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是(　　)A．增函

8、数B．减函数C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增4．若函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围为(　　)A．a≥3　　　　　　　B．a＝3C．a≤3D．0

9、R上递增，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．[－1,1]D．(1,2)3．已知函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是(　　)A．[－1，＋∞)B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1,2)D．[2，＋∞)4．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当ag(x)B．f(x)g(x