导数题型总结.doc

《导数题型总结.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、导数题型总结一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下步骤进行解决：第一步：令求出函数的单调区间；第二步：根据第一步求出函数的极大值，极小值和最大值；至于不等式恒成立，则要分离变量或者变更主元。例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.解:由函数得（1）在区间上为“凸函数”，则在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于解法二：

2、分离变量法：∵当时,恒成立,当时,恒成立等价于的最大值（）恒成立，而（）是增函数，则(2)∵当时在区间上都为“凸函数”则等价于当时恒成立等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）例2：设函数（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.解：（Ⅰ）令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）∴当x=a时，极小值=当x=3a时，极大值=b.（Ⅱ）由

3、

4、≤a，得：对任意的恒成立①则等价于这个二次函数的对称轴（放缩法）即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。上是增函数.（9分）

5、∴于是，对任意，不等式①恒成立，等价于又∴点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系例3：已知函数图象上一点处的切线斜率为，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的值域；（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。解：（Ⅰ）∴，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减又∴的值域是（Ⅲ）令思路1：要使恒成立，只需，即分离变量思路2：二次函数区间最值二、参数问题1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是

6、求的增或减区间的子集；例4：已知，函数．（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；（Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围．解：.（Ⅰ）∵是偶函数，∴.此时，，令，解得：.列表如下：(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,+∞)+0－0+递增极大值递减极小值递增可知：的极大值为，的极小值为.（Ⅱ）∵函数是上的单调函数，∴，在给定区间R上恒成立判别式法则解得：.综上，的取值范围是.例5、已知函数（I）求的单调区间；（II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想解：（I）1、当且仅当时取“=”号，单调递增。2、单调增区间：单调增区间：（II）当则是上述增区间的子

7、集：1、时，单调递增符合题意2、，综上，a的取值范围是[0，1]。2、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点，即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可。例6、已知函数，，且在区间上为增函数．（1）求实数的取值范围；（2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．解：（1）由题意∵在区间上为增函数，∴在区间上恒成立（分离变量

8、法）即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为（2）设，令得或由（1）知，①当时，，在R上递增，显然不合题意…②当时，，随的变化情况如下表：—↗极大值↘极小值↗由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得综上，所求的取值范围为