导数题型专题总结.doc

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1、导数问题的六大热点导数部分内容，由于其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题．因此在高考新课程卷中占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面，常以一小一大或二小一大的试题出现，分值12~17分．下面例析导数的六大热点问题，供参考．一、运算问题是指运用导数的定义、常见函数的导数、函数和差积商的导数，及复合函数、隐函数的导数法则，直接求出其导数的运算问题．例1已知为正整数.设．证明：因为，所以．例2⑴已知y＝(x＋1)2，用定义法求y

2、'．⑵求y＝2x2－3x＋4－的导数．⑶已知函数f(x)＝，且(1)＝2，求a的值．分析：对于⑴运用导数的定义，即y'＝，即可解决；对于⑵可应用(u±v)'＝v＋u以及解之；对于⑶是逆向型的复合函数导数运算问题，用及方程思想即可解决．解析：⑴y'＝＝＝2x＋2．⑵由法则，即得y'＝4x－3＋．⑶∵＝(ax2－1)•2ax，即(1)＝a(a－1)＝2，解得a＝2．二、切线问题是指运用导数的几何意义或物理意义，解决瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等三类问题．特别是求切线的斜率、倾斜角及切线方程问题，其中：⑴曲线y＝f

3、(x)在点P(x0，f(x0))处的斜率k，倾斜角为，则tan＝k＝．⑵其切线l的方程为：y＝y0＋(x－x0)．若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))的切线平行于y轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为x＝x0．例3已知，函数．设，记曲线在点处的切线为．⑴求的方程；⑵设与轴交点为．证明：①；②若，则．⑴解：求的导数：，由此得切线的方程：．⑵证明：依题意，切线方程中令y＝0，.①由.②．例4设，，曲线在处切线的倾斜角的取值范围是，则到曲线对称轴距离的取值范围是（A）　　　（B）　　　　（C）　　（D）解

4、：＝2ax＋b，故点处切线斜率k＝2ax0＋b＝tan∈[0，1]，于是点P到对称轴x＝－的距离d＝

5、x0－(－)

6、＝∈，故选(B)．三、单调性问题一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内可导．如果f'(x)＞0，则f(x)为增函数；如果f'(x)＜0，则f(x)为减函数．单调性是导数应用的重点内容，主要有四类问题：①运用导数判断单调区间；②证明单调性；③已知单调性求参数；④先证明其单调性，再运用单调证明不等式等问题．例5设a＞0，是R上的偶函数．（I）求a的值；（II）证明在（0，+∞）上是增函数。(Ⅰ)解：依题意,

7、对一切xÎR有f(x)=f(-x)，即，所以对一切xÎR成立由此得到，即又因为，所以(Ⅱ)证明：由得当xÎ(0，+∞)时，有，此时，所以在(0，+∞)是增函数.评注：对于第(Ⅱ)问是证明函数的单调性，虽然可利用函数单调性定义直接证明，但对f(x1)－f(x2)的变形要求较高，技巧性强，且运算量大，是一种“巧法”；而利用导数法，简捷明快，也成了“通法”．四、极值问题即运用导数解决极值问题．一般地，当函数f(x)在x0处连续，判别f(x0)为极大(小)值的方法是：⑴如果在x0附近的左侧＞0，右侧＜0，那么f(x0)是极大

8、值．⑵如果在x0附近的左侧＜0，右侧＞0，那么f(x0)是极小值．例6函数y＝1＋3x－x3有()(A)极小值－1，极大值1(B)极小值－2，极大值3(C)极小值－2，极大值2(D)极小值－1，极大值3分析：本题是求已知三次函数的极值问题，考虑运用导数先确定函数的单调性，再求其极值．解：由y'＝3－3x2＝0，得x＝1或x＝－1．当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，y'＜0．当x∈(－1，1)时，y'＞0．因此函数y＝1＋3x－x3在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即x

9、＝－1是极小值点，x＝1是极大值点．所以极小值为－1，极大值为3，故选(D)．五、最值问题运用导数求最大(小)值的一般步骤如下：若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则⑴求，令＝0，求出在(a，b)内使导数为0的点及导数不存在的点．⑵比较三类点：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在[a，b]上的最大值，最小者便是f(x)在[a，b]上的是小值．例7求函数f(x)＝x4－2x2＋5在[－2，2]上的最大值与最小值．解：＝4x3－4x，令＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3

10、＝1，均在(－2，2)内．计算f(－1)＝4，f(0)＝5，f(1)＝4，f(－2)＝13，f(2)＝13．通过比较，可见f(x)在[－2，2]上的最大值为13，最小值为4．六、应用问题例8用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.分析：本小题