大学高数上期试题.doc

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1、高等数学II期中考试解答一、选择题（每小题3分，共计15分）1、函数在（0，0）点B。()．连续，偏导函数都存在；　()．不连续，偏导函数都存在；()．不连续，偏导函数都不存在；　()．连续，偏导函数都不存在。2、二重积分（其中D：）的值为B。()．；()．；()．；()．3、设为可微函数，，则。()．1；()．；()．；()．。4、设是以原点为圆心，为半径的圆围成的闭区域，则。()．；()．；()．；()．。5、设在上连续，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为。()．；()．；()．；()．。二、填空题（每小题4分，共计24分）1、

2、设，则，在点处的梯度。2、设，则1。3、由曲线所围成的闭区域，则=。4、函数在点处从点到点的方向导数是。，，，5、曲线在点处的切线方程为，法平面方程为。注意：，点；法平面方矢。6、改变积分次序。三、计算题（每小题7分，共计49分）1、求。解：先交换积分次序2、求椭球面的平行于平面的切平面方程。解：设切点为，则，过切点的法向量为：，得，代入，得，切点为或，，故切平面方程为：或。3、已知具有二阶连续偏导数，利用线性变换变换方程。问：当取何值时，方程化为。解：，。，，所以时，应满足一元二次方程且。解得，取其任一值，且a≠b时，方程化为。4、可微，求

3、解：设，由公式5、在经过点的平面中，求一平面，使之与三坐标面围成的在第一卦限中的立体的体积最小。解：设过点的平面截距式方程为，点P满足方程即平面与三坐标面围成的在第一卦限中立体的体积为由拉格朗日乘数法，设由，，及得最值点的坐标所求平面为即。6、求二元函数在区域的最大值、最小值。解：。令解得驻点：（0，0）在区域内在边界上代入求出导数为0的点y=0这时z(2,0)=13,z(-2,0)=13,z(0,-2)=z(0,2)=25比较得最大值：z(0,-2)=z(0,2)=25，最小值：z(0,0)=97、设区域，证明：。解：在区域内，。，所以。四

4、、每小题6分，共计12分1、设，用方向导数的定义证明：函数在原点沿任意方向的方向导数都存在。证明：因为，所以。由于式中为任意的方向角，这说明函数沿任意方向的方向导数都存在。2、设，若是连续可微的函数，求。解：时，求导得。所以满足微分方程。解得，亦可表示为：