泛函分析试题B评分标准.doc

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1、泛函分析期末考试试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题3分，共15分）1、如果存在，使2、是上连续泛函3、对所有，有成立，且是映射到上的4、5、存在二、计算题（20分）叙述空间的定义，并求的共轭空间。答：（1）（2）对于任意，，定义运算，按上述加法与数乘运算成为线性空间（3）按上述定义的范数构为Banach空间………….6分令，则能被表示为，对任意给定，令则.若则所以不等式自然成立，若则不全为0，对任何自然数，令其中显然因为，另一方面又有因为不全为0，所以当足够大时，在上面不等式两边同除以，得到。因此。………….7分反之，对，作上泛函如下：，显然是上

2、线性泛函，并且由不等式，可得因此，并且有综上…………7分三、证明题（共65分）1、（12分）叙述并证明空间中的Holder不等式。证：Holder不等式：设则由于对任何正数，有不等式成立。…………………………….4分当，命题显然成立；当，记令可得即因此成立，。………….8分2、（15分）设是Hilbert空间的闭子空间，证明。证：由正交补的定义，易证，只要证明即可。设，由投影定理，存在……………7分因为，并且是线性空间，所以，因此命题得证。……………………8分3、（14分）Hilbert空间是可分的，证明任何规范正交系至多为可数集。证：由于Hilber

3、t空间是可分的，则存在有限或可数个向量使不妨设为中的线性无关子集，否则可取中的线性无关子集。………….5分由Gram-Schmidt正交化，存在有限或可数的规范正交系，使对任何自然数成立所以由张成的线性空间包含，因此即是中完全规范正交系………….9分4、（12分）证明Banach空间自反的充要条件是的共轭空间自反。证：若是Banach空间，则存在一个从到的自然的等距同构映射若则称是自反的。其中是这样定义的，若为方便起见，记到的自然的等距同构映射到的自然的等距同构映射要证明的充要条件为。若，对任意，定义对任意，因此这就证明了。……………………7分反之，若

4、，而。则存在，使上恒为零，而但对任意，这样但矛盾，因此必有。……………………5分5、（12分）叙述空间的定义，并证明空间是不可分的。证：表示有界实数列全体，对中任意两点，定义，易证按成为度量空间………………….4分令表示中坐标取值为0或1的点全体，则与二进位小数一一对应，所以的基数为。对中任意两个不同的点如果可分，则中存在可数稠密子集，设为，对中每一点，作球是一族两两不相交的球，总数有不可数个。但由于在中稠密，所以每个中至少含有中一点，这与是可数集矛盾。…………………….8分