2009秋泛函分析试卷b

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1、2009年秋季学期《泛函分析》课程试卷B卷（开卷考试）（适用专业：06级数学与应用数学）卷面总分100分一、填空题（本题共10分，每小题2分）1。如果度量空间X有一个可数的（），则称X是可分空间。2。完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为（）。3。（X，），（Y，）是两个度量空间，如存在X到Y上的映射T，满足（），则称（X，）和（Y，）等距同构。4。线性赋范空间，若，则的范数=（）。5。的共轭空间为（）。二、判断题（本题共10分，每小题2分）1。任何线性赋范空间的共轭空间是Banach空间。（）2。设Y是Hilbert空间X的闭子空间，则成立。（）3。若X

2、是非空的完备度量空间，则X是第一纲集。（）4。算子的一致收敛可导出强收敛，强收敛可导出弱收敛。（）5。有界闭集一定是紧集。（）三、证明题（本题共60分）1。若，用Holder2。设是线性赋范空间X到线性赋范空间Y的线性算子，不等式证明Minkowski不等式成立。则为有界算子的充要条件为是X上的连续算子。第3页共3页3。叙述并证明共鸣定理（一致有界性定理）。4。叙述并证明压缩映射定理。5。设是Hilbert空间，是上的连续线性泛函，那么6。设是内积空间，是中非空凸集，并且按中由存在唯一的，使对每个，有，并且内积导出的距离完备，那么对于每个，存在唯一的。，使得。第3

3、页共3页四、论述题（本题共20分）给出内积空间、线性赋范空间、度量空间的定义，并指出它们三者之间的关系第3页共3页