矩阵分析样题.doc

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1、一、选择题（20分）1.下列哪些方阵一定可以酉相似于对角矩阵：______A.正规矩阵B.C.严格对角占优矩阵D.HouseholderE.非奇异矩阵2.对于阶方阵序列，成立的充分条件为：________A.其中为广义矩阵范数B.对任何维向量，数列C.对任何维向量，数列其中为向量范数D.其中为矩阵的共轭转置E.数列其中表示方阵的谱半径3.下列陈述肯定正确的有：_________A.任意实对称矩阵都存在LU分解B.坐标原点不属于可逆矩阵的任何一个Gerschgorn圆C.任何一个Householder矩阵都可以化为一系列Givens矩阵的乘积D.任何一个Givens矩阵都

2、可以化为一系列Householder矩阵的乘积E.对两个任意阶实对称正定矩阵，则存在可逆矩阵，使得同时对角化4.下列陈述肯定正确的有：_________A.设则矩阵和的秩都为B.若阶矩阵的n个Gerschgorn圆互不相交，则可以对角化C.若矩阵都可以正交相似于对角矩阵，则也可以正交相似对角矩阵D.E.两个正交投影算子相等的充分条件为它们的值域相同二、填空题（分）1.设则，其中为复数，为n阶单位阵2.设为2阶矩阵，使得则的谱半径3.设则的分解可以写为=________________.三、计算题（35分）1.（10分）已知矩阵计算矩阵的从属范数，其中2.（10分）设，已

3、知矩阵的数量函数关于Z的导数为若计算,其中，,，，为和X无关的常数矩阵。3.设（1）求的Hermite标准形；（5分）（2）利用（1）的结果求出的满秩分解；（5分）（3）利用（2）的结果求出.（5分）四、（共20分）已知实矩阵的全体按照普通的矩阵加法和数乘构成实数域上的线性空间，定义集合验证S为的子空间（5分）。定义的线性变换为验证为的不变子空间（5分），从而可以看作的一个线性变换，给出的一组基（5分），求出在给出的这组基下的矩阵表示（5分）。（共20分）五、（10分）设矩阵定义其中为阶单位矩阵。证明为酉矩阵的充要条件为（提示：利用矩阵的奇异值分解）