线性代数习题集.doc

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1、一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．二阶行列式≠0的充分必要条件是（　C　　）A．k≠-1B．k≠3C．k≠-1且k≠3D．k≠-1或≠32．设A为三阶矩阵，

2、A

3、=a≠0，则其伴随矩阵A*的行列式

4、A*

5、=（　B　　）A．aB．a2C．a3D．a43．设A、B为同阶可逆矩阵，则以下结论正确的是（　A　　）A．

6、AB

7、=

8、BA

9、B．

10、A+B

11、=

12、A

13、+

14、B

15、C．（AB）-1=A-1B-1D．（A+B）2=A2+2AB+B24．设A可逆，则下列说法

16、错误的是（　C　　）A．存在B使AB=EB．

17、A

18、≠0C．A相似于对角阵D．A的n个列向量线性无关5．矩阵A=的逆矩阵的（　A　　）A．B．C．D．6．设α1=[1，2，1]，α2=[0，5，3]，α3=[2，4，2]，则向量组α1，α2，α3的秩是（　C　　）A．0B．1C．2D．37．设α1，α2是非齐次方程组Ax=b的解，β是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是（　D　　）A．α1+α2B．α1-α2C．β+α1+α2D．β+8．若A=相似，则x=（　B　　）A．-1B．0C．1D．29．若A相似于，则

19、A-E

20、=（　B　　）A．-1B．0C．1D．2

21、10．设有实二次型f(x1,x2,x3)=，则f（　　　）A．正定B．负定C．不定D．半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

22、2B^-1*A^2*B

23、=2^3

24、B^-1*B

25、*

26、A

27、=8*

28、E

29、*2=1611．设A，B均为三阶可逆阵，

30、A

31、=2，则

32、2B-1A2B

33、=___16______.12．在五阶行列式中，项a21a32a45a14a53的符号为_____-1_____.13．设A=，则A*=_________.14．设三阶方阵A等价于，则R（A）=____2_____.15．设α1=[1，2，x]

34、,α2=[-2，-4，1]线性相关，则x=____-12_____.16．矩阵[1-11]的秩为_____1____.17．设λ0是可逆阵A的一个特征值，则A-2必有一个特征值是____1λ0^2_____.18.已知齐次方程组A4×5χ=0的基础解系含有3个向量，则R（A）=___3______.19．已知三阶矩阵A的三个特征值是-1，1，2，则

35、A

36、=____-2_____.20．二次型f(x1,x2,x3)=-2x1x2+x2x3的矩阵是_________.三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）21．求行列式22．设A=求（1）（A+2E）-123．求

37、向量组α1=[1，-1，2，4]，α2=[0，3，1，2]，α3=[3，0，7，14],α4=[1，-1，2，0]的秩，并求出向量组的一个最大线性无关组。24．设有非齐次线性方程组问a为何值时方程组无解？有无穷解？并在有解时求其通解.25．设A=的特征值是λ1=λ2=2，λ3=4.（1）求x;（2）A是否相似于对角阵，为什么？26．设二次型f(x1,x2,x3)=2（其中a>0）可通过正交变换化为标准型，求参数a及所用的正交变换.四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27．设向量组α1，α2，α3线性无关，证明α1+α2，α1-α2，α3也无关.28．设A为n阶

38、正定矩阵，B为n阶半正定矩阵，证明A+B为正定矩阵14．设向量组α1=（1，-3，α），α2=（1，0，0），α3=（1，3，-2）线性相关，则a=__________.15.若3元齐次线性方程组Ax=0的基础解系含2个解向量，则矩阵A的秩等于__________.20．实对称矩阵A=所对应的二次型xTAx=__________.三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）22．设矩阵A=，B=，求矩阵方程XA=B的解X.25．设矩阵A=.（1）求矩阵A的特征值和特征向量；（2）问A能否对角化？若能，求可逆矩阵P及对角矩阵D，使P-1AP=D.26．设（1）确定α的取

39、值范围，使f为正定二次型；（2）当a=0时，求f的正惯性指数p和负惯性指数q.四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27．设A，B为同阶对称矩阵，证明AB+BA也为对称矩阵.28．若向量组α1，α2，α3可用向量组β1，β2线性表出，证明向量组α1，α2，α3线性相关.1．行列式的值为（　　　）12．=__________。13．设A=，则A-1=__________。14．设=（1，2，4），=(-1,-2,y)且与线性相关，则y=__________。15．设=（1，1，1），=（1，1，0），=（