线性代数综合习题.doc

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1、第一部分选择题1.设行列式=m，=n，则行列式等于（D）A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n2.设矩阵A=，则A-1等于（B）A.B.C.D.3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A*中位于（1，2）的元素是（B）A.–6B.6C.2D.–24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（D）A.A=0B.BC时A=0C.A0时B=CD.

2、A

3、0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（C）A.1B.2C.3D.46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β

4、2，…，βs均线性相关，则（D）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs

5、=07.设矩阵A的秩为r，则A中（C）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（A）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.η1+η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（A）A.秩(A)

6、阵，下列陈述中正确的是（B）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（A）A.k≤3B.k<3C.k=3D.k>312.设A是正交矩

7、阵，则下列结论错误的是（B）A.

8、A

9、2必为1B.

10、A

11、必为1C.A-1=ATD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（D）A.A与B相似B.A与B不等价C.A与B有相同的特征值D.A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（C）A.B.C.D.第二部分非选择题15.6.16.设A=，B=.则A+2B=.17.设A=(aij)3×3，

12、A

13、=2，Aij表示

14、A

15、中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a1

16、3A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=4.18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=-10.19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数.20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(

17、向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）=-5.22.设3阶矩阵A的行列式

18、A

19、=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为-2.23.设矩阵A=，已知α=是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为1.24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为.三、计算题25.设A=，B=.求（1）ABT；（2）

20、4A

21、.解：（1）ABT==.（2）

22、4A

23、=43

24、A

25、=64

26、A

27、，而

28、A

29、=.所以

30、4A

31、=64·（-2）=-12826.试计算行列式.解：==2

32、7.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.解AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=所以B=(A-2E)-1A==28.给定向量组α1=，α2=，α3=，α4=.试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。.解所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）29.设矩阵A=.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。解对矩阵A施行初等行变换A=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组