解析几何存在性问题.doc

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1、解析几何----存在性问题1..已知双曲线方程(1)求以为中点的双曲线的弦所在直线方程；(2)过点能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．2.设，椭圆方程为，抛物线方程为．过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．3.．已知平面上一定点和一定直线，P为该平面上一动点

2、，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋2)·(－2)＝0.(1)问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；(2)设直线与(1)中的曲线交于不同的两点A，B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．4..如图，已知椭圆的中心为原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0，－2

3、P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（2）是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解析几何----存在性问题1.已知双曲线方程2x2－y2＝2.(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；(2)过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解：(1)即设的中点弦两端点为，则有关系．又据对称性知，所以是中点弦所在直线的斜率，由、在双曲线上，则有关系．两式相减是：∴∴所求中点弦所在直线为，即．(2)可假定直线存在

4、，而求出的方程为，即方法同(1)，联立方程，消去y,得然而方程的判别式，无实根，因此直线与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线不存在．2设，椭圆方程为，抛物线方程为．过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．解析：（1）由得，当得，G点的坐标为，，，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；（2

5、）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，。关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。点评：本题考查椭圆和抛物线方程的求法、抛物线的切线方程的求法、存在性问题的解决方法、分析问题解决问题的能力，是一道几乎网罗了平面解析几何的所有知识点并且和导数的应用交汇在一起的综合性试题，是一道“在知识网络的交汇处”设计的典型试题。易错指导：本题把抛物线和椭圆结合在一起，题目的条件里还有两条直线，考生在心理上畏惧，可能出现的问题是思维混乱，理不清题目中错综复杂的关系，

6、找不到正确的解题思路；在解决第二问时缺乏分类讨论的思想意识产生漏解等3．已知平面上一定点C(4,0)和一定直线l：x＝1，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(＋2)·(－2)＝0.(1)问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；(2)设直线y＝kx＋1与(1)中的曲线交于不同的两点A，B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D(0，－2)？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．解　(1)设点P的坐标为(x，y)，由(＋2)·(－2)＝0，得

7、

8、2－4

9、

10、2＝0，∴(x－4)2＋y2－4(x－1)2＝0.化简，得－＝1.∴P点在双曲线上，其方程为－＝1.(2)设A，B两

11、点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由得(3－k2)x2－2kx－13＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝－.∵AB与双曲线交于两点，∴Δ>0且3－k2≠0，即4k2－4(3－k2)(－13)>0且3－k2≠0.解得－