解析几何_存在性问题(含答案)

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1、.解析几何——存在性问题1、已知椭圆的离心率为，过的左焦点的直线被圆截得的弦长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设的右焦点为，在圆上是否存在点，满足,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.[解]：（1）因为直线的方程为，令，得，即…1分∴，又∵，∴，　∴椭圆的方程为.…４分（2）存在点P，满足∵圆心到直线的距离为，又直线被圆截得的弦长为，∴由垂径定理得，故圆的方程为.…………８分设圆上存在点，满足即，且的坐标为，则，整理得，它表示圆心在，半径是的圆。∴………………１２分故有，即圆与圆相交，有两个公共点。∴圆上存在两个不同点，满足.………１４分..2、

2、平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率为，焦点为、，直线：经过焦点，并与相交于、两点．⑴求的方程；⑵在上是否存在、两点，满足，？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．[解]：依题意，……2分，由得……3分，椭圆的方程为……4分⑵（方法一）若存在满足条件的直线，∵，∴，设直线的方程为……5分由……6分，得……7分，（*）设，，则，……9分由已知，若线段的中点为，则，………10分，即，由，解得……13分时，，与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线……14分（方法二）假设存在，，线段的中点为，则，……5分由两式相减得：……7分，代入、化简得：由已知，则，……9分由得，，　由①②解得

3、，即……11分直线CD的方程为：，　联立得……13分∵，方程（组）无解，∴不存在满足条件的直线……14分..3、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点若点C满足点C的轨迹与抛物线：交于A、B两点．(1)求证：；(2)在x轴上是否存在一点使得过点P直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点,若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是,即由　　,　　,故………..6分(2)法一：存在点满足条件。　证明如下：由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，设弦所在的直线方程为：代入得，,　,故

4、以AB为直径的圆都过原点............10分法二：若存在这样的点P满足条件，设.则有得又由D、P、E三点共线可得当时，此时可验证当且时也符合条件，所以存在点满足条件.设弦AB的中点为则，∴弦AB的中点M的轨迹方程为：，消去k得..4、设点、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且最小值为．（1）求椭圆的方程；（2）若动直线均与椭圆相切，且，试探究在轴上是否存在定点，点到的距离之积恒为1？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设，则有，-------------1分-----------------2分由最小值为得，----------------

5、---3分∴椭圆的方程为．---------------------------------------------4分（2）①当直线斜率存在时，设其方程为--------------------5分把的方程代入椭圆方程得∵直线与椭圆相切，∴，化简得　　　　　　　　同理，------------------------------------8分∴，若，则重合，不合题意，∴-----------------------9分设在轴上存在点，点到直线的距离之积为1，则，即，--------------------------------------10分把代入并去绝对值整理，或者

6、前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的恒成立则，解得；----------------------------------------------------------------------12分②当直线斜率不存在时，其方程为和，---------------------------13分定点到直线的距离之积为；定点到直线的距离之积为；综上所述，满足题意的定点为或--------------------------------------------14分..5、已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，且经过定点，为椭圆上的动点，以点为圆心，为半径作圆．求椭圆的方程；若圆与轴有

7、两个不同交点，求点横坐标的取值范围；是否存在定圆，使得圆与圆恒相切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由．解：由椭圆定义得，………………………………………1分即，………………………2分∴，又，∴.………………………………………3分故椭圆的方程为…………………………………………………4分圆心到轴距离，圆的半径，若圆与轴有两个不同交点，则有，即，化简得.…………………………………………………6分点在椭圆上，∴，代入以上不等式得：，解得：.………………………………………8分又，∴，即点横坐标的取值范围