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1、存在性问题一、具有某些性质的数学对象是否存在1.(08广东茂名25题)(木题满分10分)如图，在平直角坐标系中，抛物线y=-
2、x点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿绝段AB以每秒1个申位松度的速度匀速运动，同吋另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由。在(2)的结论下，直线x=l上是否存在点M,使AMPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由。+bx+
3、c经(0，一4)、B(xb0)、C(x2,0)三点，且x2-x】=5.b/x(1)求r(2)在抛物线上求一点D,使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱表；(3)在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BP0H是以0B为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由。2.(辽宁沈阳)如图所示，在平而直角坐标系中，矩形AB0C的边B0在x轴的负半轴上，边0C在y轴的正半轴上，且AB=l，0B=V^，矩形AB0C绕点0按顺时针方向旋转60n后得到矩形EFOD，点A的对应点为点E,点B
4、ya的对应点为点F,点C的对应点为点D,抛物线y=ax2+bx+cE过点A,E,D。(1)判断点E是否在y轴上，并说明理由；!'(2)求抛物线的函数表达式；1°(3)在x轴的上方是否存在点P,点Q,使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由。3.(重庆市綦江县)已知：抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图^:象经过点B(12,0)和C(0，-6),对称轴为x=2。V:/1.(山东省烟台市)如图，已知抛物线y=x2+b
5、x-3a过点A(l,0),B(0,-3),与x轴交丁•另一点C。(1)求抛物线的解析式；(2)若在第三象限的抛物线上存在点P,使APBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P,Q，B,C为顶点的叫边形为宵角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。2.(重庆市江津区)如图,抛物线y=ax2+bx+l与x轴交于两点A(-1,0),B(l，0),与y轴交丁•点C。(1)求抛物线的解析式；_E(2)过点B作BD//C
6、A与抛物线交丁点D，求叫边形ACBD的面积；(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点M,过M作酮丄x轴丁•点N,使以A,M,N为顶点的三角形与ABCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。3.(四川成都市)在平面直角坐标系xoy中，抛物线y:ax2+bx+c与x轴交于八、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交丁•点C，点A的坐标为(-3,0)，若将经过八，C两点的直线尸k+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是宵线x=-2。2^E/B0X1(1)求直线AC及抛物线的函数表达式；(2
7、)如果P是线段AC上一点，设AAPB、ABPC的面积分别为SaaBP>Sabpc，且SaABP•SaBPC=2*39求点P的坐标;(3)设OQ的半径为1,圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在©Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由，并探究：若设OQ的半径为n圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值吋，OQ与两坐标轴同时相切？4.如图，在平面宵角坐标系中，点B在直线y=2x上，过点B作x轴的垂线，■足为A,0A=5o若抛物线y=^x2+bx+c6过点0、A两点。(1)求该抛物线的解析式
8、；(2)若A点关于直线y=2x的对称点为C,判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图，在（2）的条件下，00,是以BC为宵径的圆。过原点0作00,的切线OP,P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q,使得以PQ为直径的圆与00：相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理巾。1.（辽宁12市）如图，在平面直角坐标系屮，直线y=-V5x-A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2-¥x+c（a关0）经过A,B，C三点。（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式,并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在
9、点P,使AABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标，若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M,使得AMBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由。二、数学对象是否具有某些性质268ffi1.（2009年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形0ABC的边0A在y轴的正半轴上，0C在x轴的正半轴上，0A=2,
