探究存在性问题

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1、探究存在性问题高2015级12班陈星佚在数学的探索型问题屮有一•类存在性问题,它常常提出这样的问题:某个数学对象是否存在,或某种特性是否成立?若存在,请求出这个对彖或论证该特性;若不存在,请说明理由。解这类问题的一般方法是:先假设所求的对象存在或特性成立,以此假设为依据进行求解或推理论证,若能对该对象求出结果,或在推理论证过程中没出现矛盾,得出了肯定的结论,则该假设成立,存在此数学对象或特性;若在求解或推理过程中得出矛盾,则假设不成立,即不存在该数学对象或特性。一、二次函数图像中的存在性问题(一)是否存在平行

2、四边形、梯形、正方形、长方形、菱形等例1已知二次函数y=ax1^bx+c(qhO)的图象经过点人(1,0),B(2,0),C(0,-2),直线x=m(m>2)与兀轴交于点D・(1)求二次函数的解析式;(2)在直线x=m(m>2)上有一点、E(点E在第四彖限),便得E、D、B为顶点的三角形与以A、0、C为顶点的三角形相似,求E点坐标(用含加的代数式表示);(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形?若存在,请求出加的值及四边形ABEF的面积;若不存在,请说明理由.分析:(

3、1)(2)略;(3)假设存在该点F,使得四边形ABEF为平行四边形。然后利用这一假设充当已知条件,运用平行四边形的性质对边平行R相等进行求解。解:(1)V二一卡+%-2(2—,27、(2)求得E]m,;E°(m,4-2m)•I2丿(3)假设抛物线上存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形,则EF=AB=点F的横坐标当点Q的处标为2-mym,2丿点片的朋标为心,学•••点耳在抛物线的图象匕...2___(加_])2+3(加_])_2,27m=—,m=2(舍去),2f53、:.F},.e3344II、当点E?

4、的坐标为(加昇一2加)时,点F?的坐标为(m一1,4一2m),・・•点场在抛物线的图象上,4-2m=-(m-1)2+3(m-1)-2,m=2(舍去),m=5f・・・鬥(4,-6),・;$口倔尸=1><6二6总结:解决此类问题,方法大同小异:先设存在一点(a,b)满足形成平行四边形,该点的坐标用二次函数点的坐标表示。再根据平行四边形的性质进行验证(两组对边平行或相等,一组对边平行且相等,对角线互相平分等等性质)。若不满足,则不存在;若满足,则存在。是否存在梯形、正方形、长方形、菱形等问题,方法类似,不再重复。注

5、意:观察题目中是某对该点的位置进行了限定,若没有,则应注意是否需要分类讨论。(二)是否存在使题目中的面积关系成立的点例2如图,抛物线y=ax2+c(a>0)经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底AD在兀轴上,其中A(-2,0),B(-1,-3).(1)求抛物线的解析式;(2)点M为y轴上任意一点,当点M到4、B两点的距离Z和为最小时,求此时点M的处标;(3)在第(2)问的结论下,抛物线上的点P使Sm°=4Sww成立,求点P的坐标.图2解:(1)、因为点4、B均在抛物线上,故点4、B的处标适合抛物线方程4a+c=

6、0a+c=-3a=1°解之得:;故y=x2-4为所求c=-4(2)如图2,连接BD,交丿轴于点M,则点M就是所求作的点设BD的解析式为y=kx+b,则有2k+b=0—k+b=—3=-x2a/2xV2=2;设P(x,兀2一幻,-ADx2-4=4x2,即:-x4X2-422依题意有:4x2图3然后根据等底三角形高之比等于面积之比、故〃D的解析式为y=x—2;令x=0,则『=—2,故M(0,—2)⑶、如图3,连接AM,交丿轴于点N,由(2)矢口,0M=0A=0D=2,ZAMB=90°易知BN=MN=,易求AM=2

7、>/2,BM=近解之得:x=±2V2,x=0,故符合条件的P点有三个:Px(2>/2,4),P2(-2>/2,4),P3(0,-4)总结:解决此类问题,同样也是设存在满足条件的一个点,等高三角形底之比等于面积之比、余弦定理、或直接将面积表示出来,列比例方程求解等方法判断是否存在该点。注意:若两个图形的位置相差太远,则需连接辅助线,进行面积转换。(三)是否存在满足题目中的线段关系的点例3己知抛物线y=a/+bx+c(aH0)顶点为C(1,1)过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线y=—4作垂线,垂足为M,连

8、FM(如图).(1)求字母a,b,c的值;3(2)在直线x=l上有一点F(l,-),求以PM为底边的等腰三和形PFM的P点的坐标,并证明此时APPM4为正三角形;(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在5请说明理由.解:(1)a=—hb=2,c=0(2)过P作总线x=l的垂线,可求P的纵处标为丄,横坐标为1+丄巧.此时,MP=MF=PF=

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1、探究存在性问题高2015级12班陈星佚在数学的探索型问题屮有一•类存在性问题,它常常提出这样的问题:某个数学对象是否存在,或某种特性是否成立?若存在,请求出这个对彖或论证该特性;若不存在,请说明理由。解这类问题的一般方法是:先假设所求的对象存在或特性成立,以此假设为依据进行求解或推理论证,若能对该对象求出结果,或在推理论证过程中没出现矛盾,得出了肯定的结论,则该假设成立,存在此数学对象或特性;若在求解或推理过程中得出矛盾,则假设不成立,即不存在该数学对象或特性。一、二次函数图像中的存在性问题(一)是否存在平行

2、四边形、梯形、正方形、长方形、菱形等例1已知二次函数y=ax1^bx+c(qhO)的图象经过点人(1,0),B(2,0),C(0,-2),直线x=m(m>2)与兀轴交于点D・(1)求二次函数的解析式;(2)在直线x=m(m>2)上有一点、E(点E在第四彖限),便得E、D、B为顶点的三角形与以A、0、C为顶点的三角形相似,求E点坐标(用含加的代数式表示);(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形?若存在,请求出加的值及四边形ABEF的面积;若不存在,请说明理由.分析:(

3、1)(2)略;(3)假设存在该点F,使得四边形ABEF为平行四边形。然后利用这一假设充当已知条件,运用平行四边形的性质对边平行R相等进行求解。解:(1)V二一卡+%-2(2—,27、(2)求得E]m,;E°(m,4-2m)•I2丿(3)假设抛物线上存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形,则EF=AB=点F的横坐标当点Q的处标为2-mym,2丿点片的朋标为心,学•••点耳在抛物线的图象匕...2___(加_])2+3(加_])_2,27m=—,m=2(舍去),2f53、:.F},.e3344II、当点E?

4、的坐标为(加昇一2加)时,点F?的坐标为(m一1,4一2m),・・•点场在抛物线的图象上,4-2m=-(m-1)2+3(m-1)-2,m=2(舍去),m=5f・・・鬥(4,-6),・;$口倔尸=1><6二6总结:解决此类问题,方法大同小异:先设存在一点(a,b)满足形成平行四边形,该点的坐标用二次函数点的坐标表示。再根据平行四边形的性质进行验证(两组对边平行或相等,一组对边平行且相等,对角线互相平分等等性质)。若不满足,则不存在;若满足,则存在。是否存在梯形、正方形、长方形、菱形等问题,方法类似,不再重复。注

5、意:观察题目中是某对该点的位置进行了限定,若没有,则应注意是否需要分类讨论。(二)是否存在使题目中的面积关系成立的点例2如图,抛物线y=ax2+c(a>0)经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底AD在兀轴上,其中A(-2,0),B(-1,-3).(1)求抛物线的解析式;(2)点M为y轴上任意一点,当点M到4、B两点的距离Z和为最小时,求此时点M的处标;(3)在第(2)问的结论下,抛物线上的点P使Sm°=4Sww成立,求点P的坐标.图2解:(1)、因为点4、B均在抛物线上,故点4、B的处标适合抛物线方程4a+c=

6、0a+c=-3a=1°解之得:;故y=x2-4为所求c=-4(2)如图2,连接BD,交丿轴于点M,则点M就是所求作的点设BD的解析式为y=kx+b,则有2k+b=0—k+b=—3=-x2a/2xV2=2;设P(x,兀2一幻,-ADx2-4=4x2,即:-x4X2-422依题意有:4x2图3然后根据等底三角形高之比等于面积之比、故〃D的解析式为y=x—2;令x=0,则『=—2,故M(0,—2)⑶、如图3,连接AM,交丿轴于点N,由(2)矢口,0M=0A=0D=2,ZAMB=90°易知BN=MN=,易求AM=2

7、>/2,BM=近解之得:x=±2V2,x=0,故符合条件的P点有三个:Px(2>/2,4),P2(-2>/2,4),P3(0,-4)总结:解决此类问题,同样也是设存在满足条件的一个点,等高三角形底之比等于面积之比、余弦定理、或直接将面积表示出来,列比例方程求解等方法判断是否存在该点。注意:若两个图形的位置相差太远,则需连接辅助线,进行面积转换。(三)是否存在满足题目中的线段关系的点例3己知抛物线y=a/+bx+c(aH0)顶点为C(1,1)过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线y=—4作垂线,垂足为M,连

8、FM(如图).(1)求字母a,b,c的值;3(2)在直线x=l上有一点F(l,-),求以PM为底边的等腰三和形PFM的P点的坐标,并证明此时APPM4为正三角形;(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在5请说明理由.解:(1)a=—hb=2,c=0(2)过P作总线x=l的垂线,可求P的纵处标为丄,横坐标为1+丄巧.此时,MP=MF=PF=

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