2012解三角形复习课.doc

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1、第9课时解三角形复习课(1)、(2)学习要求1．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形；2．能利用计算器解决三角形的计算问题。【课堂互动】自学评价1．正弦定理：txjy(1)形式一：=2R；形式二：；；；（角到边的转换）形式三：，，；（边到角的转换）形式四：；（求三角形的面积）(2)解决以下两类问题：1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。(3)若给出那么解的个数为：若，则无解；若，则一解；若，则两解；2．余弦定理：txjy(1)形式一：，，听课随笔形式二：，，，（角到边的转换）(2

2、)解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）【精典范例】一、判定三角形的形状【例1】根据下列条件判断三角形ABC的形状：(1)若a2tanB=b2tanA；(2)b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC;(3)(3)(sinA+sinB+sinC)–(cosA+cosB+cosC)=1.【解】(1)由已知及正弦定理得(2RsinA)2=(2RsinB)22sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2cos(A+B)sin(A–B)=0∴A+B=90o或A–B=0所以△ABC是等腰三角

3、形或直角三角形.(2)由正弦定理得sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC∵sinBsinC≠0,∴sinBsinC=cosBcosC,即cos(B+C)=0,∴B+C=90o,A=90o,故△ABC是直角三角形.(3)(sinA+sinB+sinC)–(cosA+cosB+cosC)=1[2sincos+sin(A+B)]–[2coscos+2cos2-1]=0[2sincos+sin(A+B)]–2coscos-2sin2=0(sin-cos)(cos-sin)=0sin(-)sinsin=0△ABC是Rt△.二、三角形中的求角或求边长问题【例2】△ABC中，已知：

4、AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形.设∠FEC=α，问sinα为何值时，△DEF的边长最短？并求出最短边的长。分析：要求最短边的长，需建立边长关于角α的目标函数。【解】设△DEF的边长为x，显然∠C=90°，∠B=60°，故EC=x·cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，所以∠EDB=α。在△BDE中，由正弦定理得，听课随笔所以，因为BE+EC=BC，所以，所以当，。注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。【例3】在△ABC中，已知sinB=,cosA=,试求cosC的值。【解】由cosA=

5、，得sinA=,∵sinB

6、=c=时,bc=,故bc的最大值是.三、解平面几何问题【例6】已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。分析：连结对角线BD，将四边形面积转化为三角形面积来求，而要求三角形面积，需求出∠A、∠C，这可由余弦定理列方程求得。【解】四边形ABCD的面积S=.注：在应用正弦定理解题时要注意方程思想的运追踪训练一1.△ABC中a=6,b=6A=30°则边C=（C）A、6B、、12C、6或12D、62.△ABC中若sin(A+B)，则△ABC是（B）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形3.△ABC中若面积S=则C=（C）ABCD

7、4.△ABC中已知∠A=60°，AB=AC=8：5，面积为10，则其周长为20;5.△ABC中A：B：C=1：2：3则a：b：c=1::2.【选修延伸】四、解实际应用问题【例7】某观测站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发有一条公路定向是南偏东40°，由C处测得距C为31km的公路上B处有1人沿公路向A城以v=5km/h的速度走了4h后到达D处，此时测得C、D间距离为21km。问这人以v的速度至少还要走多少h才能到达A城。【解】由已知得CD=21，BD=