奥数因式分解.pdf

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1、.一、常用公式：序号公式记忆特征(1)常数项两数积2x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)1(2)一次项系数两数和（十字相乘法）(3)二次项系数为122a-b=(a-b)(a+b)2（平方差公式）222a+2ab+b=(a+b)2223a-2ab+b=(a-b)（完全平方公式）2222a+b+c+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)(1)三数平方和4（完全平方公式扩展）(2)两两积的2倍32233a+3ab+3ab+b=(a+b)322335a-3ab-3ab+b=(a-b)对照完全平方公式相互加强记

2、忆（完全立方公式）(1)近似完全平方公式3322a+b=(a+b)(a-ab+b)(2)缺项之完全立方公式6332223a-b=(a-b)(a+ab+b)(a+b)[(a+b)-3ab]=(a+b)-3ab(a+b)23(a-b)[(a+b)+3ab]=(a-b)+3ab(a+b)3332227a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-ac-bc)对照公式4相互加强记忆(1)短差长和；nnn-1n-2n-32n-2n-1a-b=(a-b)(a+ab+ab+⋯+ab+b)n=整数(2)a指数逐项递

3、减1；8（平方差公式扩展）(3)b指数逐项递增1；(4)长式每项指数和恒等于n-1。(1)短式变加长式加减相间；nnn-1n-2n-32n-2n-1a-b=(a+b)(a-ab+ab-⋯+ab-b)n=偶数(2)a指数逐项递减1；9（立方差公式扩展）(3)b指数逐项递增1；(4)每项符号b指数决定偶加奇减。nnn-1n-2n-32n-2n-1a+b=(a+b)(a-ab+ab-⋯+ab-b)n=奇数10对比公式9的异同（立方和公式扩展）公式1练习：第一组第二组第三组第四组第五组2232222x+6x+52x+

4、8x-10x-8x+15x2x-x-3x+2xy-15y22322322x-x+423x+3x-36x+20x+51x-3x+11x-6x+2xy-15xy2232222x+2x-355x-10x-15x-12x+32x-4x-8x-32x-xy+3y2232222x+4x-457x-35x+42x-11x+30x6x-2x-84x--2xy+2y二、常用因式分解方法1、提取公因式法2、运用公式法3、分组分解法4、十字相乘法5、拆项、添项法...三、例题讲解1、提取公因式法例1x(a-b)2n2n+12n2n

5、2n+12n+1+y(b-a)提示：(b-a)=(a-b),(b-a)=-(a-b)2n2n解：原式=(a-b)[x-y(a-b)]=(a-b)(x-ay+by)例2(ax+by)222222+(ay-bx)+cy+cx提示：先展开再合并同类项222222222222解：原式=ax+2abxy+by+ay-2abxy+bx+cy+cx（原式展开）22222222=(a+b+c)x+(a+b+c)y（合并同类项）22222=(a+b+c)(x+y)（提取公因式）2、运用公式77例1xy-xy提示：先取公因式，然

6、后用公式。用公式时注意尽量将指数降到最低（2或3最佳）解：原式=xy(x66-y)（提取公因式）3232=xy[(x)-(y)]（公式2：平方差公式）3333=xy(x-y)(x+y)（公式6：立方和/差公式）2222=xy(x-y)(x+xy+y)(x+y)(x-xy+y)例2(a+2b+c)333-(a+b)-(b+c)提示：第一个多项式为另外两个多项式之和333原式=(a+2b+c)-[(a+b)+(b+c)]（添括号形成立方和的形式）322=(a+2b+c)-(a+2b+c)[(a+b)-(a+b)(

7、b+c)+(b+c)]（应用立方和公式展开）222=(a+2b+c){[(a+2b+c)-(a+b)]+(a+b)(b+c)-(b+c)}（提取公因式a+2b+c形成平方差公式）2=(a+2b+c)[(2a+3b+c)(b+c)+(a+b)(b+c)-(b+c)]（提取公因式b+c）=(a+2b+c)(b+c)[(2a+3b+c)+(a+b)-(b+c)]（合并化简）=3(a+b)(b+c)(a+2b+c)66例3若x=√2+√2，y=√2-√2，则x+y的值是：解：x662323+y=(x)+(y)2222

8、2222=(x+y)[(x)-xy+(y)]（应用立方和公式）2222222=(x+y)[(x+y)-3xy]（应用完全平方公式）22222222∵x+y=(√2+√2)+(√2-√2)=4,3xy=3×(√2+√2)×(√2-√2)=6∴x662－6)=40+y=4×(43、分组分解法提示：合理适当地分组产生公因式。关键之处在合理分组，多尝试不同地分组以触动灵感。1)按系数分组例2ax-10ay+