奥数因式分解

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1、一、常用公式：序号公式记忆特征1x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)（十字相乘法）(1)常数项两数积(2)一次项系数两数和(3)二次项系数为12a2-b2=(a-b)(a+b)（平方差公式）3a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2（完全平方公式）4a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2（完全平方公式扩展）(1)三数平方和(2)两两积的2倍5a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a3-3a2b-3ab2+b3=(a-b)3（完全立方公式）对照完全平方公式相互加强记忆6a3+b3=(a+b)(

2、a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(1)近似完全平方公式(2)缺项之完全立方公式(a+b)[(a+b)2-3ab]=(a+b)3-3ab(a+b)(a-b)[(a+b)2+3ab]=(a-b)3+3ab(a+b)7a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)对照公式4相互加强记忆8an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)n=整数（平方差公式扩展）(1)短差长和；(2)a指数逐项递减1；(3)b指数逐项递增1；(4)长式每项指数和恒等于n-1。9

3、an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)n=偶数（立方差公式扩展）(1)短式变加长式加减相间；(2)a指数逐项递减1；(3)b指数逐项递增1；(4)每项符号b指数决定偶加奇减。10an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)n=奇数（立方和公式扩展）对比公式9的异同公式1练习：第一组第二组第三组第四组第五组x2+6x+52x2+8x-10x3-8x2+15x2x2-x-3x2+2xy-15y2x2-x+423x2+3x-36x3+20x2+51x-3x2+11x-

4、6x3+2x2y-15xy2x2+2x-355x2-10x-15x3-12x2+32x-4x2-8x-32x2-xy+3y2x2+4x-457x2-35x+42x3-11x2+30x6x2-2x-84x2--2xy+2y2二、常用因式分解方法1、提取公因式法2、运用公式法3、分组分解法4、十字相乘法5、拆项、添项法因式分解4/4三、例题讲解1、提取公因式法例1x(a-b)2n+y(b-a)2n+1提示：(b-a)2n=(a-b)2n,(b-a)2n+1=-(a-b)2n+1解：原式=(a-b)2n[x-y(a-b)]=(a-b)2n(x-ay+by)

5、例2(ax+by)2+(ay-bx)2+c2y2+c2x2提示：先展开再合并同类项解：原式=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2-2abxy+b2x2+c2y2+c2x2（原式展开）=(a2+b2+c2)x2+(a2+b2+c2)y2（合并同类项）=(a2+b2+c2)(x2+y2)（提取公因式）2、运用公式例1x7y-xy7提示：先取公因式，然后用公式。用公式时注意尽量将指数降到最低（2或3最佳）解：原式=xy(x6-y6)（提取公因式）=xy[(x3)2-(y3)2]（公式2：平方差公式）=xy(x3-y3)(x3+y3)（公式6：立方和/差

6、公式）=xy(x-y)(x2+xy+y2)(x+y)(x2-xy+y2)例2(a+2b+c)3-(a+b)3-(b+c)3提示：第一个多项式为另外两个多项式之和原式=(a+2b+c)3-[(a+b)3+(b+c)3]（添括号形成立方和的形式）=(a+2b+c)3-(a+2b+c)[(a+b)2-(a+b)(b+c)+(b+c)2]（应用立方和公式展开）=(a+2b+c){[(a+2b+c)2-(a+b)2]+(a+b)(b+c)-(b+c)2}（提取公因式a+2b+c形成平方差公式）=(a+2b+c)[(2a+3b+c)(b+c)+(a+b)(b+c

7、)-(b+c)2]（提取公因式b+c）=(a+2b+c)(b+c)[(2a+3b+c)+(a+b)-(b+c)]（合并化简）=3(a+b)(b+c)(a+2b+c)例3若x=2+2，y=2-2，则x6+y6的值是：解：x6+y6=(x2)3+(y2)3=(x2+y2)[(x2)2-x2y2+(y2)2]（应用立方和公式）=(x2+y2)[(x2+y2)2-3x2y2]（应用完全平方公式）∵x2+y2=(2+2)2+(2-2)2=4,3x2y2=3×(2+2)2×(2-2)2=6∴x6+y6=4×(42－6)=403、分组分解法提示：合理适当地分组产生

8、公因式。关键之处在合理分组，多尝试不同地分组以触动灵感。1)按系数分组例2ax-10ay+5by-bx=(2