奥数辅导资料因式分解

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1、奥数辅导资料因式分解奥数辅导资料因式分解【内容综述】　　本讲主要介绍因式分解的概念，方法和技巧。【要点讲解】　　1．因式分解的概念和基本要求　　把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，因式分解的基本方法有：提公因式法；运用公式法；分组分解法；十字相乘法，难点是如何灵活的运用这些基本方法。在进行多项式的因式分解时，要注意以下几点：　　(1)如果多项式的各项含有公因式，那么要先提出这个公因式，再进一步分解因式。　　(2)分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。　　(3)因式分解过程的每一步

2、必须都是恒等变形。　　这一部分中，通过一系列的由易到难的题目的解决过程的讲解，同学们不但要体会因式分解的基本方法的灵活运用，而且还将学习到拆项法、添项法等其它的因式分解方法。　　2．例题选讲　　★★例1.分解因式。　　思路1用平方差公式。　　解法1原式　　　　　　　　　思路2因为也可改写成，所以也可考虑用立方差公式。　　解法2原式=　　　　　　　　　说明这题启发我们形如是整数，且在因式分解时，要通过合适变形后，利用公式法来分解因式，请同学们自己试着分解因式。　　★★例2分解因式。第7页共7页奥数辅导资料因式分解　　思路：观察题目的特征可看出不能直接利

3、用公式或分组分解，这时可先把原式展开进行重新组合。　　解：原式　　　　　　　　★★★例3分解因式　　思路1拆常数项2为1+1，再用公式。　　解法1原式　　　　　　　　　思路2拆常数项2为3-1，再分组分解。　　解法2原式　　　　　　　　　思路3拆再分组分解。　　解法3原式　　　　　　　　　思路4同思路3。　　解法4原式　　　　　　　　　说明：由于合并同类项的结果是唯一的，而反过来的拆项方法则不是唯一的，这就是拆项、添项困难和方法灵活多样的一个原因。　　★★★★例4分解因式。第7页共7页奥数辅导资料因式分解　　思路：直接无法分解，观察到原式可变形为，故

4、考虑添上中间项，添成完全平方公式。　　解：原式　　　　　　　　说明：添项法也是一种重要的因式分解方法。　　例5分解因式　　思路1直接无法分解，把常数项2折成3-1，然后进行分组分解。　　解法1原式　　　　　　　　　思路2拆一次项　　解法2原式　　　　　　　　　　　　　　　　思路3添二次项，再进行分组分解。　　解法3原式　　　　　　　　　说明：若多项式不能直接进行因式分解时，这时就要对这个多项式进行适当的变形，拆项法、添项法是比较常见的方法。第7页共7页奥数辅导资料因式分解　　★★★★例6分解因式　　分析若把原式全部展开，则会出现次数高、项数多，从而使

5、我们难于处理，观察到原式中有1+4=2+3，从而得如下的：　　解：原式　　　　　　　　说明本题中把看作一个整体，运用十字相乘法来因式分解。　　★★★★例7求所有满足的，的整数值。　　解：　　　　　　由、是整数，经讨论共有四个解：　　　　★★★例8分解因式　　分析注意到这是轮换对称式，可考虑使用因式定理及待定系数法。　　解：记，　　，可见都是多项式的因式，又因这是轮换对称式，可知也是原多项式样的因式，故可令　　原式。　　分别取a=0,b=1,c=-1,可解得k=-1，于是原式=-(a-b)(b-c)(c-a)　　★★★例9分解因式　　分析这是三次多项式

6、的因式分解，可考虑因式定理。　　解：是30的因数，经检验可知故可是多项式因子，令＝k(x+2)(x+3)(x-5)，可解得，故原式。第7页共7页奥数辅导资料因式分解　　又∵a,b都是整数，思维训练题A　级　　★★1．分解因式=___________。　　★★2．分解因式=___________。　　★★★3．a,b,c是△ABC的三条边，则代数式的值=_________。（填大于0，小于0或等于0）。　　★★★4．分解因式。B　级　　★★5．方程的整数解的个数有_______个。　　★★6．若能被60与70之间的两个整数整除，则这两个数是_____。

7、　　★★★7．分解因式=________。　　★★★★8．求证：有无穷多个自然数a，使得数对于任意自然数n均为合数。　　★★9．分解因式。参考答案A级　　1．。　　提示：原式=　　2．。第7页共7页奥数辅导资料因式分解　　提示：原式=　　3．小于0。　　提示：原式=，由a,b,c是△ABC的三条边知，故，所以原式的值小于0。　　4．　　简解：原式=B级　　5．4个。　　提示：　　∵x,y是整数,　　　　解得　　　　6．63与65。提示：　　　　∴这两上数分别为65和63。　　7．，提示：原式=　　8．设（k为自然数），则第7页共7页奥数辅导资料因式分

8、解　　　　由k（k为自然数）的任意性，可知有无穷多个自然数a，使Z为合数。　　9．注意这是关于a,b,c的四