函数的单调性-教案.doc

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1、课题:函数的单调性教材:人教版全日制普通高级中学教科书(必修)数学第一册(上)【教学目标】1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法.2.通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力.3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生感知从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程.【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明.【教学难点】根据定义证明函数的单调性.【教学方法】教师启发讲授,学生探究学习.【

2、教学手段】计算机、投影仪.【教学过程】一、创设情境,引入课题为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况,数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况,下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图,捕捉信息,启发学生思考.问题:观察图形,能得到什么信息?预案:(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻;(2)在某时刻的温度;(3)某些时段温度升高,某些时段温度降低.教师指出:在生活中,我们关心很多数据的变化规律,了解这些数据的变化规律,对我们的生活是很有帮助的.问题:还能举出生活中其他的数据变化情况吗?预案:水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等.归

3、纳:用函数观点看,其实这些例子反映的就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小.〖设计意图〗由生活情境引入新课,激发兴趣.二、归纳探索,形成概念对于自变量变化时,函数值是变大还是变小,是函数的重要性质,称为函数的单调性,同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识,但是没有严格的定义,今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1.借助图象,直观感知问题1:分别作出函数的图象,并且观察自变量变化时,函数值的变化规律?预案:(1)函数,在整个定义域内y随x的增大而增大;函数,在整个定义域内y随x的增大而减小.(2)函数,在上y随x的增大而增大,在上y随x的增大而减小.(3)函数,在上y随x

4、的增大而减小,在上y随x的增大而减小.引导学生进行分类描述(增函数、减函数),同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质.问题2:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数吗?预案:如果函数在某个区间上随自变量x的增大,y也越来越大,我们说函数在该区间上为增函数;如果函数在某个区间上随自变量x的增大,y越来越小,我们说函数在该区间上为减函数.教师指出:这种认识是从图象的角度得到的,是对函数单调性的直观、描述性的认识.〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第一次认识.2.抽象思维,形成概念问题1:如图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和

5、减函数吗?学生的困难是难以确定分界点的确切位置.通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不够精确,需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.问题2:如何从解析式的角度说明在上为增函数?预案:(1)在给定区间内取两个数,例如2和3,因为22<32,所以在上为增函数.(2)仿(1),取多组数值验证均满足,所以在为增函数.(3)任取,因为,即,所以在上为增函数.对于学生错误的回答,引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量

6、.〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法,为第三阶段的学习做好铺垫.问题3:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义.(1)板书定义(2)巩固概念判断题:①.②若函数.③若函数在区间和(2,3)上均为增函数,则函数在区间(1,3)上为增函数.④因为函数在区间上都是减函数,所以在上是减函数.通过判断题,强调三点:①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数),有的函数只在定义域内的某些

7、区间单调(如二次函数),有的函数根本没有单调区间(如常函数).③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在上是增(或减)函数.思考:如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?〖设计意图〗让学生由特殊到一般,从具体到抽象归纳出单调性的定义,通过对判断题的辨析,加深学生对定义的理解,完成对概念的第三次认识.三、掌握证法,适当延展例1证明函数在上是增函数.1.分析解决问题针对学生可能出现

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