第二型曲面积分ppt课件.ppt

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1、§2第二型曲面积分第二型曲面积分的典型物理背景是计算流体从曲面一侧流向另一侧的流量.与第二型曲线积分相类似,第二型曲面积分与曲面所取的方向有关,这就需要先定义“曲面的侧”.一、曲面的侧二、第二型曲面积分的概念三、第二型曲面积分的计算四、两类曲面积分的联系一、曲面的侧设连通曲面S上到处都有连续变动的切平面(或法线),曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时,另一个指向就是负方向.又设为S上任一点,L为S上任一经过点且不超出S边界的闭曲线.当S上的动点M从出发沿L连续移动一周而回到时,如果有如下特征:出发时M与取相同的法线

2、方向,而回来时仍保持原来的法线方向不变,则称该曲面S是双侧的.否则,若由某一点出发,沿S上某一封闭曲线回到时,其法线方向与出发时的方向相反,则称S是单侧曲面.我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面.单侧曲面的一个典型例子是默比乌斯(Mobius)带.它的构造方法如下:取一矩形长纸条ABCD(如图22-4(a)),将其一端扭转后与另一端粘合在一起(即让A与C重合,B与D重合,如图22-4(b)所示).默比乌斯(Möbius,A.F.1790-1868,德国)通常由所表示的曲面都是双侧曲面,其法线方向与z轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧,另一侧称为下侧

3、.当S为封闭曲面时,法线方向朝外的一侧称为外侧，另一侧称为内侧.习惯上把上侧作为正侧,下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为正侧,内侧作为负侧.二．第二型曲面积分的概念先考察一个计算流量的问题.设某流体以流速从曲面S的负侧流向正侧(图22-5),其中P,Q,R为所讨论范围上的连续函数,求在单位时间内流过曲面S的总流量E.设在S上任一点处的正向单位法向量为这里,,都是x,y,z的函数.则单位时间内流经小曲面块的流量其中是任意取定的一点;是点处的单位法向量;分别是在坐标面于是单位时间内由的负侧流向正所以,单位时间内由的负侧流向正侧的总流量这种

4、与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第侧的流量也就近似等于上投影区域的近似面积,分别记作的投影区域的面积,它们的符号由的方向来确定:分别表示在三个坐标面上二型曲面积分.定义1设P,Q,R为定义在双侧曲面S上的函数.对S作分割T,它把S分为分割T的细度为若在曲面所指定一侧上的第二型曲面积分,记作的选取无关,则称此极限I为向量函数中的三个极限都存在,且与分割T和点的据此定义,某流体以速度从曲面的负侧流向正侧的总流量即为又如,若空间中的磁场强度为则按指定方向穿过曲面的磁通量(磁力线总数)为若以表示曲面S的另一侧,由定义易知第二型曲面积分有类似于第

5、二型曲线积分的性质:1.若存在,则有其中2.若曲面S是由两两无公共内点的曲面所组成,则有三．第二型曲面积分的计算定理22.2设是定义在光滑曲面上的连续函数,以S的上侧为正侧(这时的法线方向与轴正向成锐角),则有证由第二型曲面积分的定义,由于R在S上连续,上连续(曲面光滑),据在复合函数的连续性,上也连续.由二重积分的定义,这里所以这里S是取法线方向与轴的正向成锐角的那一类似地,当在光滑曲面上连续时,有一侧为正侧.侧为正侧.当在光滑曲面上连续时,有这里S是取法线方向与轴的正向成锐角的那一例1计算其中是球面的外侧（图22-6）.解曲面S在第一、五

6、卦限部分的方程分别为部分并取球面在它们在平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分.因积分是沿的下侧进行,故其中例2计算是由曲面所围立体表面的外侧.解曲面其中其投影为其投影为其投影为因此如果光滑曲面S由参量方程给出:若在D上各点它们的函数行列式不同时为零,则分别有注(5),(6),(7)三式前的正负号分别对应S的两个侧,所选定的正特别当平面的正方向对应于曲面向一侧时,式前取正号,否则取负号.其中S为椭球面例3计算的上半部分,并取外侧.由(5)式有解把曲面表示为参量方程:其中积分是在S的正侧进行.由上述的注,(8)式右端取正号,即五、两类曲面积分

7、的联系与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立两种类型曲面积分的联系.设S为光滑曲面,并以上侧为正侧,R为S上的连续函数,曲面积分在S的正侧进行.因而有由曲面面积公式（第二十一章§6）,其中是曲面的法线方向与z轴正向的交角,它是定义在上的函数.因为积分沿曲面正侧进行,所以是锐角.又由S是光滑的,所以使这点的法线方向与z轴正向的夹角满足等式上连续.应用中值定理,在内必存在一点,或与z轴正向夹角的余弦,则由的连续性,可推于是现以的法线方向时,(10)式右端极限存在.因此由(9)式得当得到这里注意当改变曲面的侧向时,左边积分改变符号;右边积

8、分中角改为.因而也改变符号,其中,分别是S上的法线方向与x轴正向和与y所以右边积分也相应改变了符号.同理可证:轴正向的夹角.一般地有这样,在确定了余弦函数之后