对坐标曲面积分(第二型曲面积分).ppt

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1、第五节一、有向曲面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系对坐标的曲面积分第九章一、有向曲面及曲面元素的投影•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)二、对坐标的曲面积分的概念与性质1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量.分析:若是面积为S的平面,则流量法向量:流速为常向量:对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则

2、设为光滑的有向曲面,在上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R叫做被积函数;叫做积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对的任则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义：引例中,流过有向曲面的流体的流量为称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;若记正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式3.性质(1)若之间无公共内点,则(2)用¯表示的反向曲面,则三、对坐标的曲面积分的计算法定

3、理:设光滑曲面取上侧,是上的连续函数,则证:∵取上侧,•若则有•若则有(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面取下侧,则例1.计算其中是以原点为中心,边长为a的正立方体的整个表面的外侧.解:利用对称性.原式的顶部取上侧的底部取下侧解:把分为上下两部分根据对称性思考:下述解法是否正确:例2.计算曲面积分其中为球面外侧在第一和第八卦限部分.曲面积分是按侧进行四、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画两类曲面积分可以相互转换令向量形式(A在n上的投影)例5.设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解:例6.计

4、算曲面积分其中解:利用两类曲面积分的联系,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.参考下页注释∴原式=原式=注：在上题中，如何得到令内容小结定义:1.两类曲面积分及其联系性质:联系:2.常用计算公式及方法当时，（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在yOz面及zOx面上的二重积分转化公式.例设则取上侧时,取下侧时,是平面在第四卦限部分的上侧,计算提示:求出的法方向余弦,转化成第一类曲面积分例.设第六节注：备用题求取外侧.解:注意±号其中利用轮换对称性