线性代数 4-1-矩阵的特征值与特征向量ppt课件.ppt

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1、第4章矩阵的特征值与特征向量4.1矩阵的特征值与特征向量4.2矩阵的相似对角化4.3实对称矩阵的相似对角化4.1矩阵的特征值与特征向量一相似矩阵二特征值与特征向量的定义三特征值与特征向量的求法四特征值与特征向量的性质1.定义：A~B一、相似矩阵A~BAB,反之不对。相似与等价的关系：矩阵之间的相似关系具有如下等价关系2.相似矩阵的简单性质：证明：特别地：当较简单时，可利用来求。3.相似矩阵的简单应用：例：问题：说明二、特征值与特征向量1.定义：特征方程的根为矩阵A的特征根，也就是A的特征值。特征方程在复数范围内恒有解，个数为方程的次数(重根按重数计)，因此n阶方阵A有n个特征

2、根。注：因为属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量，特征向量不是被特征值唯一确定，一个特征值可以有无数个特征向量。但是特征值却被特征向量所唯一确定，一个特征向量只能对应于一个特征值。证明：一个特征向量不能属于不同的特征值1.求特征值、特征向量的步骤：三、特征值与特征向量的求法(保证特征向量是非0向量)解例1例２解例３设求A的特征值与特征向量．解得基础解系为：例4：求矩阵的特征值与特征向量解：经试根知，2是一个根。故:为属于特征值2的线性无关的特征向量；其全部特征向量为：例5：(2)设若3是A的一个特征值，求y及A的其它特征值。2.特征值的求法公式：若的特征值

3、是，是的对应于的特征向量，则的特征值是是任意常数)的特征值是是正整数)证明再继续施行上述步骤次，就得若可逆，则的特征值是且仍然是矩阵分别对应于的特征向量。的特征值是（4）例：4.1.4特征值与特征向量的性质证：用数学归纳法。下面证明m时成立。回忆线性无关的证明方法！左乘A（1）（1）左乘（2）（3）（2）减（3）得：代回(1)得：设有常数使得：属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于这一特征值的特征向量；但属于不同特征值的特征向量的线性组合一般就不是特征向量了。注意：例：设是矩阵A的两个互异特征值，分别是属于的特征向量，证明不是A的特征向量。推论：说明：属于不同特征值的线性无关的特征

4、向量之间也是线性无关的。设是A的不同的特征值，是属于的线性无关的特征向量，是属于的线性无关的特征向量，则线性无关。性质2：相似矩阵有相同的特征值。证明矩阵有相同特征值的方法但是，若A与B有相同的特征多项式，即有相同的特征值，A与B不一定相似。推论若阶方阵A与对角阵证明性质3：n阶矩阵A与其转置矩阵有相同的特征值性质4(特征值与矩阵的关系公式)设阶方阵的个特征值为则称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）所以，若当且仅当0为其特征值。且若例1：例2：40(4,2,5)例3：例4：例5：求矩阵特征值与特征向量的步骤：四、小结