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1、第五章矩阵的特征值与特征向量设A为n阶方阵如果存在数以及非零向量使得1.定义§§1.矩阵的特征值与特征向量注:(1)(2)即齐次方程组而齐次方程组有非零解系数行列式而且(3)称为矩阵A的特征方程.称为A的特征多项式(是一个n阶行列式)是关于的多项式解特征方程的目的----求矩阵A的特征值(4)的根就是矩阵A的特征值的全体非零解就是A对应于特征值的特征向量或(5)求方阵A的特征值于特征向量步骤写出特征方程并求出该方程的根(这就是矩阵A的特征值)对于每一个特征值解齐次线性方程组求全体非零解(就是对应于的特征向量
2、)例1.求矩阵的特征值与特征向量解:A的特征方程为:即为:所以是矩阵A的特征值(1)当时,解齐次方程组即为:该方程组的基础解系是:这是因为:方程组的系数矩阵r(D)=2<3所以方程组的基础解系含有一个解向量解同解方程组可得所以对应于的特征向量为:(2)当时:即为:就是:所以方程组的基础解系为:因此对应于的全体特征向量为:不同时为0.性质1.设的特征值为则有:(1)(2)(矩阵A可逆的充要条件是A的任一特征值不为0)(3)矩阵A与A的转置矩阵的特征值相同2.方阵的特征值与特征向量的性质称为矩阵A的迹性质2.如
3、果是矩阵A的特征值,则(1)是的特征值(当然A要可逆)这是因为:(2)是A*的特征值这是因为:(3)是的特征值(4)是的特征值,其中性质3.如果矩阵A的特征值各不相同则这些特征值对应的特征向量线性无关.(互异的特征值对应的特征向量线性无关)注意:相同的特征值对应的特征向量未必线性无关!例2.设矩阵求B+2E的特征值与特征向量。其中A*是A的解：于是：2003研伴随矩阵，E为3阶单位阵B+2E的特征方程为：所以B+2E的特征值为：（二重根）当时，解即为：就是所以取方程组的基础解系为:对应于的全部特征向量为：不
4、同时为0.当时，解即为：所以取方程组的基础解系为:对应于的全部特征向量为：例3.设三阶矩阵A的特征值为1,3,5,求
5、A
6、,
7、B
8、解:
9、A
10、=15而B的特征值为,3,15所以
11、B
12、=例4.设矩阵而且又A的伴随矩阵A*有一个特征值，属于的一个特征向量，求a,b,c的值1999研解：所以：即：即：由此可得：由(1)(3)得：代入(2):又则：故，§2.相似矩阵一.相似矩阵1.定义:设A,B为n阶方阵,如果存在可逆矩阵P使得称A,B相似.记作:P---相似变换矩阵2.性质性质1.如果A,B相似,则A,B有相同的特
13、征值和相同的特征多项式证明：因为A,B相似所以存在可逆矩阵P使得所以A,B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。性质2.如果矩阵A,B相似而且A可逆，则B可逆，而且性质3.如果则性质4.如果则性质6.如果则性质5.如果则例1.已知而且求x,y解：因为所以A,B有相同的特征值从而有：即：例2.设为3维列向量，若相似于则2009研提示：2二.n阶方阵的对角化n阶方阵的对角化条件定理:n阶方阵A与对角矩阵相似A有n个线性无关的特征向量此时为A的特征值，有可能是相同的其中为对应于的线性无关的特征向量推论如果有个不
14、同的特征值，意味着什么？则A与对角阵相似。例1.已知该矩阵能否与对角阵相似？解：因为特征值只有两个，是否说明不能对角化？(1)当时,解齐次方程组即为:取非零解向量即为特征向量(1)当时,解齐次方程组取基础解系作为特征向量即可即为:系数矩阵的秩为1得线性无关的特征向量，是否一定线性无关？？来自不同的特征值！！！！综上，A有三个线性无关的特征向量，可以与对角阵相似。即存在可逆阵使得成立。温馨提醒：期末考试必考题型！想挂吗？千万别会！！解：解得A的特征值为：（二重）2005-2006期末试卷当时，解即因为所以的基
15、础解系含一个线性无关解向量。从而对应于只有一个线性无关的特征向量。当两个。时，解即因为要使得A与对角阵相似。特征值对应的线性无关的特征向量必须有几个？的基础解系有两个线性无关解向量。从而即方程组此时特征向量为：即存在可逆阵使得例3.设的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可以对角化？解：A的特征方程为：2004研如果是特征方程的二重根，则有当时，矩阵A的特征值为：2，2，6。解故的基础解系含2个线性无关解向量。即对应的线性无关特征向量有两个。从而A可以对角化。？如果不是特征方程的二重根，则是完全平方
16、。从而有：？当时，矩阵A的特征值为：2，4,4。矩阵的秩为2。故对应的线性无关特征向量只有1个。从而A不可以对角化。＃问题：在两种情况下为什么不用考虑是单根的特征值？注：（1）相似变换矩阵不唯一！（由于方程组的基础解系不唯一）（2）相似变换矩阵的特征值和特征向量必须在对应的位置上一致。1.定义1§§3.实对称矩阵的相似矩阵一、向量的内积设则称为向量X与Y的内积，记为(X,Y)若则(X,Y)＝XYT2.性质：（对称
