线性系统理论第三章ppt课件.ppt

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1、首先研究单变量系统的可控性、可观性与传递函数零、极点相消之间的关系。考虑单变量系统，其动态方程为(3-22)式对应的传递函数为：一、可控性、可观测性与零极点对消问题§3-2单变量系统的实现1定理3-6动态方程(3-22)可控、可观测的充分必要条件是g(s)无零、极点对消，即D(s)和N(s)无非常数的公因式。证明：首先用反证法证明条件的必要性。若有s=s0既使N(s0)=0，又使D(s0)=0：利用恒等式2将s=s0代入，可得将上式前乘c、后乘b后即有式(1)前乘cA、后乘b，并考虑到(2)的结果后即有……..，依次类推可得3这组式子又可写

2、成因为假设动态方程可观测，上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵，故4考虑到式(1-45)，我们有这与系统可控的假设相矛盾。5矛盾表明N(s)和D(s)无相同因子，即g(s)不会出现零、极点相消的现象。充分性：即若N(s)和D(s)无相同因子，要证明动态方程(3-30)是可控、可观的。用反证法。设系统不是既可控又可观测的。不妨设(3-30)是不可控的。这时可按可控性分解为(2-36)的形式，并且可知这时传递函数，6在上面的式子中，D(s)是n次多项式，而D1(s)是n1次多项式，由于系统不可控，所以n1

3、显然这和两者应相等矛盾。证完。7推论单输入系统(A,b)可控的充分必要条件是adj(sIA)b与D(s)=Δ(s)无非常数公因式;单输出系统(A,c)可观的充分必要条件是cadj(sIA)与D(s)=Δ(s)无非常数公因式。对单输出系统亦有类似的结论。8零极对消问题小结一、若cadj(sIA)b与A的特征式Δ(s)有公因子ss0,则s0或是不可控模态，或是不可观模态，或是既不可控又不可观的模态；若adj(sIA)b与Δ(s)有公因子ss0,则s0是不可控模态若cadj(sIA)与Δ(s)有公因子ss0,则s0是不可观模态9二

4、、若adj(sIA)与Δ(s)有零、极对消，则ad(sIA)b与Δ(s)有零、极对消；cadj(sIA)与Δ(s)有零、极对消；即使adj(sIA)与Δ(s)无零、极对消，也有可能adj(sIA)b与Δ(s)、cadj(sIA)与Δ(s)都有零、极对消。10例题1不可控模态：1；不可观模态：1；adj(sIA)与Δ(s)有s=1对消；adj(sIA)b与Δ(s)有s=1对消；cadj(sIA)与Δ(s)有s=1对消。11adj(sIA)与Δ(s)无零、极对消，也有可能有既不可控又不可观的模态。见下面的例2。例题2不可控模

5、态：3、4,adj(sIA)b与Δ(s)可对消(s3)(s4)；不可观模态：2、4,cadj(sIA)与Δ(s)可对消(s2)(s4)；既不可控又不可观的模态：4,(但adj(sIA)却与Δ(s)无对消！)。12总结例1和例2：既不可控又不可观的模态一定使adj(sIA)b与Δ(s)有零、极对消，也使cadj(sIA)与Δ(s)有零、极对消；反之，即使adj(sIA)b与Δ(s)有零、极对消、cadj(sIA)与Δ(s)有零、极对消，也不一定adj(sIA)与Δ(s)有零、极对消,也不一定有既不可控又不可观的模态。1

6、3adj(sI-A)与Δ(s)有s-s0对消有既不可控又不可观的模态s-s0。adj(sI-A)b与Δ(s)有s-s0对消，cadj(sI-A)与Δ(s)有s-s0对消。无必然联系adj(sI-A)b与Δ(s)有s-s0对消，cadj(sI-A)与Δ(s)有s-s0对消。反之不成立反之不成立14(3-30)式中的d就是下列动态方程中的直接传递部分所以只需讨论(3-30)式中的严格真有理分式部分。设给定有理函数二、有理传递函数的最小实现15要求寻找（A,b,c），使得并且在所有满足(3-33)式的（A,b,c）中，要求A的维数尽可能的小。下面

7、的讨论中总假定g(s)的分子和分母无非常数公因式。对(3-33)式，可构造出如下的实现(A,b,c)问题的提法是：给定严格真有理函数161.可控标准形的最小阶实现(3-34)：具体构造如下：171)183)19(3-42)式给出的(A,b,c)具有可控标准形，故一定是可控的。可直接计算它对应的传递函数就是(3-34)的传递函数。由于已经假设g(s)无零、极点对消，故可知(3-42)式对应的动态方程也一定是可观的。这时A阵的规模不可能再减小了，因为再减小就不可能得出传递函数的分母是n次多项式的结果。所以(3-42)式给出的就是(3-34)的最

8、小阶动态方程实现。202.可观标准形的最小阶实现212223242526可控和可观标准型实现小结在传递函数为即约的条件下，无论是可控还是可观标准型均是最小实现；G(s)实现为可控