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1、数学模型圆柱坐标系中的波导场方程边界条件本征解与本征值方程本征值与模式分析§2.5圆柱波导—光纤数学模型数学模型：阶跃折射率分布光纤是一种理想的数学模型，即认为光纤是一种无限大直圆柱系统，芯区半径a，折射率为n1；包层沿径向无限延伸，折射率为n2。光纤材料为线性、无损、各向同性的电介质。两个出发点:波动方程和电磁场表达式特征方程和传输模式三大步骤：(1)利用圆柱坐标系中的Helmholtz方程求出z方向的电场分量Ez和磁场分量Hz。(2)由Ez和Hz求出r方向和φ方向的电场和磁场分量Er，Eφ，Hr，Hφ(3)利用Eφ，Hφ
2、在纤芯和包层界面连续的特点，即在r=a处Eφ1＝Eφ2，Hφ1＝Hφ2，求出导波特征方程。Z方向电场和磁场分量的亥姆霍兹方程：在柱坐标系下，有：代入z方向上的亥姆霍兹方程：横向分量可以由以下关系得到：场方程与解的基本形式六个场分量：Er，Eφ，Ez，Hr，Hφ，Hz。但并不是相互独立的，横向分量由两个纵向分量唯一确定。场解的选取依据：导模场分布特点：在空间各点均为有限值；在芯区为振荡形式，而在包层则为衰减形式；导模场在无限远处趋于零。贝塞尔函数形式：Jm呈振荡形式，Km则为衰减形式。本征解选取：在纤芯中选取一类贝赛尔函数Jm
3、，在包层中选取第二类贝塞尔函数Km。本征解的确定横向分量由纵向分量确定。本征值方程的导出边界条件：在r=a,Ez,Hz,Eφ,Hφ连续EIz
4、a=EIIz
5、a:AJm(U)-BKm(W)=0HIz
6、a=HIIz
7、a:CJm(U)-DKm(W)=0EIφ
8、a=EIIφ
9、a:HIφ
10、a=HIIφ
11、a:确定待定系数ABCD有非全零解：ABCD系数行列式为零，即可导出本征值方程。本征值方程又称特征方程，或色散方程。其中U与W通过其定义式与β相联系,因此它实际是关于β的一个超越方程。当n1、n2、a和λ0给定时,对于不同的m值,可求得
12、相应的β值。由于贝塞尔函数及其导数具有周期振荡性质,所以本征值方程可以有多个不同的解βmn(m=0,1,2,3...n=1,2,3...),每一个βmn都对应于一个导模。弱导条件下：归一化工作参数归一化工作频率：归一化横向传播常数：归一化横向衰减常数：有效折射率：归一化传输常数：贝塞尔函数递推公式(I)微分公式：递推公式：大宗量近似：小宗量近似：贝塞尔函数递推公式(II)微分公式：递推公式：大宗量近似：小宗量近似：弱导光纤各种模式的特征方程（1）TE模和TM模（2）EH模：（3）HE模：(4)LP模——线性极化模LPmn模表
13、征了简并模的叠加，可以简捷地处理光在光纤中的传播问题。LP01LP11LP21HE11TE01TM01HE21EH11HE11LP模的分类及场分布和光斑LPmn模的下标m表示沿圆周方向光场出现最大值的对数，n表示沿半径方向光场的最大值个数。线性极化模：LP模命名法与矢量模命名法的对应关系LP命名法矢量模命名法LP0n模(m=0)HE1n模LP1n模(m=1)TE0n模、TM0n模、HE2n模LPmn模(m≧2)EHm-1,n模、HEm+1,n模矢量模和标量模（线性偏振模，LP模）(HE11)电力线和磁力线在光纤波导中的分布导
14、波模截止导波模截止是指电磁能量已经不能集中在纤芯中传播而向包层弥散的临界状态，此时的导波模径向归一化衰减常数W=0，我们将此时的归一化频率V和归一化横向传播常数U分别记为Vc、Uc。(1)TE、TM模的截止条件模式TE01、TM01TE02、TM02TE03、TM03TE04、TM04截止频率Vc2.404835.520088.6537311.79153若干TE0n、TM0n模的截止频率各模式能否在光纤中传播而成为导模，是由光纤的实际归一化频率（V）与模式的归一化截止频率（Vc）的相对大小决定的。如果光纤的归一化频率大于某一
15、模式的归一化截止频率，则这个模式能在光纤中传播，成为导模；如果光纤的归一化频率小于某一模式的归一化截止频率，则这个模式被截止，不能在光纤中传播。即导模条件截止条件临界条件(2)HE模的截止条件（a）m=1模式HE11HE12HE13HE14HE15截止频率Vc03.831717.0155910.1734713.32369若干HE1n模的截止频率（b）m≧2若干HEmn模的截止频率模式HEmnHE21HE22HE23HE24HE31HE32HE33HE34截止频率Vc2.404835.520088.6537311.791533
16、.831717.0155910.1734713.32369(3)EH模的截止条件若干EHmn模的截止频率模式EHmnEH11EH12EH13EH14EH21EH22EH23EH24截止频率Vc3.831717.0155910.1734713.323695.135628.4172411.61
