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1、第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系【2014年高考会这样考】1．考查直线与圆的相交、相切、相离和弦长问题．2．考查圆与圆的位置关系．考点梳理1．直线与圆的位置关系位置关系有三种：______、______、______．判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：相离相切相交相交相切相离相交相切相离(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用根与系数的关系及弦长公式2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法设⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0)，则有：
2、C1C2
3、＞
4、r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2_________；
5、C1C2
6、＝r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2_________；
7、r1－r2
8、＜
9、C1C2
10、＜r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2_________；
11、C1C2
12、＝
13、r1－r2
14、(r1≠r2)⇔⊙C1与⊙C2_________；
15、C1C2
16、＜
17、r1－r2
18、⇔⊙C1与⊙C2_________．3．圆与圆的位置关系相离外切相交内切内含一法巧解“相交”直线与圆相交时，适当使用垂径定理(半径、半弦、弦心距满足勾股定理)，可以减少运算量．两个重要结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含时：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当
19、两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．【助学·微博】A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能解析圆C的方程是(x－2)2＋y2＝4，∴点P到圆心C(2,0)的距离d＝1<2，∴点P在圆C内部，∴直线l与圆C相交．答案A考点自测1．(2012·陕西)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()．A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0解析圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0可化为标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝4，要使直线平分此圆，则直线需过圆心(1,2)．因此可通过代入
20、法，看哪一条直线过圆心(1,2)即可．经检验，选项C满足条件．故选C.答案C2．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()．A．内切B．相交C．外切D．相离答案B3．(2012·山东)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()．答案D5．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．答案(－∞，0)∪(10，＋∞)【例1】►(1)(2012·重庆)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()．A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心(2)(2
21、012·江西)过直线x＋y－2＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．考向一 直线与圆的位置关系的判定及应用[审题视点](1)由几何法或代数法判断；(2)思路1：由数与形结合分析，得
22、OP
23、＝2，从而确定P为CD中点，然后求得点P.思路2：由思路1知
24、OP
25、＝2，建立方程组求解．解析(1)因为直线y＝kx＋1过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)，故选C.(2)法一 如图所示，(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较
26、繁琐，则用代数法．(2)解决直线与圆的位置关系的应用问题，常常借助几何性质结合数形结合思想解题．(1)外切；(2)相交；(3)外离；(4)内切．[审题视点](1)分别表示出两圆的圆心坐标和半径；(2)利用两圆心之间的长度与两圆半径的关系求解．解将两圆方程写成标准方程．C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2，设两圆的圆心距为d，考向二 圆与圆的位置关系的判定及应用【例2】►a为何值时，圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3
27、＝0.则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.(2)当15，即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离，此时a>2或a<－5.(4)当d＝1，即2a2＋6a＋5＝1时，两圆内切，此时a＝－1或a＝－2.(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和
