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《2016届高考数学(文科人教A版)大一轮复习课件：热点专题突破系列(二) 三角函数与平面向量的综合应用.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、热点专题突破系列(二)三角函数与平面向量的综合应用考点一三角函数的求值与平面向量的综合【考情分析】以平面向量为载体利用诱导公式、同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数及倍角公式等解决三角函数的条件求值问题,是高考的重要考向,考查学生分析问题、解决问题的能力.【典例1】(2015·合肥模拟)已知m=(sinx,cosx),n=(sinx,sinx),f(x)=m·n.(1)求的值.(2)当x∈[0,]时,求函数f(x)的最大值与最小值.【解题提示】(1)利用向量的坐标计算两向量的数量积,从而得f(x
2、),把x=代入可得.(2)利用x的范围确定角的范围,从而得三角函数的最大值与最小值.【规范解答】(1)由已知得.f(x)=m·n=(sinx,cosx)·(sinx,sinx)=sin2x+cosxsinx==sin2x-cos2x+=sin(2x-)+.故(2)当x∈[0,]时,故当2x-=,即x=时,f(x)max=1+=,当2x-=-,即x=0时,f(x)min=sin(-)+=-+=0.【规律方法】平面向量在三角函数求值中的应用步骤(1)此类题目的特点是所给向量的坐标用关于某角的正、余弦给出
3、,把向量垂直或共线转化为关于该角的三角函数的等式.(2)利用三角恒等变换进行条件求值.【变式训练】(2015·南京模拟)已知向量a=(sinθ,-2)与b=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0,).(1)求cosθ,sinθ的值.(2)若5cos(θ-φ)=3cosφ,0<φ<,求cosφ的值.【解析】(1)因为a⊥b,所以a·b=sinθ-2cosθ=0,即sinθ=2cosθ.又sin2θ+cos2θ=1,所以4cos2θ+cos2θ=1,即cos2θ=.因为θ∈(0,),所以cosθ=,si
4、nθ=2cosθ=.(2)由5cos(θ-φ)=3cosφ,得5(cosθcosφ+sinθsinφ)=3cosφ,即cosφ+2sinφ=3cosφ,所以sinφ=cosφ.因为φ∈(0,),所以cosφ=.【加固训练】设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值.(2)求
5、b+c
6、的最大值.(3)若tanαtanβ=16,求证:a∥b.【解析】(1)因为b-2c=(sinβ-2cosβ,4cos
7、β+8sinβ),a与b-2c垂直,所以4cosα(sinβ-2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0,即sinαcosβ+cosαsinβ=2(cosαcosβ-sinαsinβ),所以sin(α+β)=2cos(α+β),所以tan(α+β)=2.(2)因为b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),所以
8、b+c
9、==所以当sin2β=-1时,
10、b+c
11、取最大值,且最大值为(3)因为tanαtanβ=16,所以=16,即sinαsinβ=16cosαcosβ,所以(4co
12、sα)·(4cosβ)=sinαsinβ,即a=(4cosα,sinα)与b=(sinβ,4cosβ)共线,所以a∥b.考点二三角函数的性质与平面向量的综合【考情分析】以平面向量的坐标运算为载体,引入三角函数,通过三角恒等变换化为一个角的三角函数,重点考查三角函数的单调性、周期性、最值、取值范围及三角函数的图象变换等.【典例2】(2015·沈阳模拟)已知向量m=(sinx,-1),n=(cosx,),f(x)=(m+n)·m.(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.(2)当x∈[0,]时,求f(
13、x)的值域.(3)将f(x)的图象左移个单位后得g(x)的图象,求g(x)在上的最大值.【解题提示】(1)利用向量坐标运算得f(x)的解析式可求周期及增区间.(2)利用已知求得角的范围后可求f(x)的值域.(3)利用图象平移变换可得g(x),再利用角的范围求解最大值.【规范解答】(1)由已知可得m+n=(sinx+cosx,),故f(x)=(m+n)·m=(sinx+cosx,)·(sinx,-1)=sin2x+sinxcosx-=sin2x-cos2x=故f(x)的最小正周期T==π,由2kπ-≤
14、2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故f(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z).(2)当x∈[0,]时,2x-∈故-≤sin(2x-)≤1,故-≤sin(2x-)≤.所以当x∈[0,]时,f(x)的值域为(3)由已知得g(x)==故当x∈时,2x∈所以当2x=0即x=0时,g(x)max=cos0=.【规律方法】平面向量与三角函数性质的综合问题的解法(1)利用平面向量的数量积把向量问题转化为三角函数的问题.(2)利用三角函数恒等变换公式
