2019年 D第二章 一元函数微分学ppt课件.ppt

《2019年 D第二章 一元函数微分学ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一节导数的概念一、引例二、导数的定义三、求导数举例四、导数的几何意义五、可导与连续的关系1.自由落体运动的瞬时速度问题如图,取极限得一、引例2.切线问题割线的极限位置——切线位置播放如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即定义二、导数的定义其它形式即★★关于导数的说明：注意:★步骤:例1解三、求导数举例例2解例3解更一般地例如,例4解例5解几何意义切线方程为法线方程为四、导数的几何意义例6解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为定理凡可导函数都是连续函数.证五

2、、可导与连续的关系连续函数不存在导数举例0例如,注意:该定理的逆定理不成立.★01例如,例如,011/π－1/π★2.右导数:单侧导数1.左导数:★例7解1.导数的实质:增量比的极限;3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.六、小结第二节求导法则一、导数的四则运算法则二、复合函数的求导法则三、反函数求导法则四、初等函数的导数第三节高阶导数一、高阶导数的定义二、高阶导数的求法问题:变速直线

3、运动的加速度.定义一、高阶导数的定义记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,例1解由高阶导数的定义逐步求高阶导数.二、高阶导数的求法例2解例3解注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)第四节隐函数及参数方程所确定的函数的导数一、隐函数求导法二、由参数方程所确定的函数的求导法定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.一、隐函数求导法例1解解得例

4、2解所求切线方程为显然通过原点.例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?三、由参数方程所确定的函数的导数由复合函数及反函数的求导法则得第五节微分在近似计算中的应用一、微分概念二、微分的运算法则三、微分在近似计算中的应用引例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.一、微分概念再例如,既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?定义(微分的实质)微分的定义由定义知:定理证(1)必要性可微的条件§3．9曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径有向弧段的值、弧

5、微分公式曲率、曲率的计算公式曲率圆曲率半径一、弧微分s的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s>0，相反时s<0．有向弧段的值s(简称为弧s)：MM0(xyOM0x0Mxs>0xyOM0x0Mxs<0显然，弧s是x的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函数．设x，x+Dx为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx，弧s的增量为Ds，于是下面来求s(x)的导数及微分．M0MMx0xx+DxDxDyxyODs1，因为因此由于ss(x)是单调增加函

6、数，从而于是ds这就是弧微分公式．)jM1M2N1N2观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：二、曲率及其计算公式可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度，M0MMDsDaxyOa+Da)a)sC设曲线C是光滑的，曲线线C上从点M到点M的弧为Ds，切线的转角为Da．平均曲率：曲率：曲率的计算公式：设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数．于是从而，有因为tanay，所以例1计算等双曲线xy1在点(1，1)处的曲率．解因此，y

7、x11，y

8、x12．曲线xy1在点(1，1)

9、处的曲率为例2抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？解由yax2bxc，得y2axb，y2a，代入曲率公式，得要使K最大，只须2axb0，抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为K

10、2a

11、．对应的点为2．若曲线由参数方程给出，那么曲率如何计算？1．直线上任一点的曲率等于什么？讨论：提示：设直线方程为y=ax+b，则y=a，y=0．于是提示：．曲线在点M处的曲率K(K0)与曲线在点M处的曲率半径r有如下关系：曲线在M点的曲率中心三、曲率圆与曲率半径My=f(x)xyODr曲线

12、在M点的曲率半径曲线在M点的曲率圆例3设工件表面的截线为抛物线y0．4x2．现在要用砂轮磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？42O2xyy=0．4x2解砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径．例3设工件表面的截线为抛物线y0．4x2