专升本第二章_一元函数的微分学ppt课件.ppt

《专升本第二章_一元函数的微分学ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章一元函数微分学§2.1.导数与微分我们再用极限来研究变量变化的快慢程度，这即是微分学中的重要概念—导数。1.定义(一)导数的概念如果函数f(x)在点x0处的导数存在，那么称函数f(x)在点x0处可导，反之，称为不可导。左、右导数2.导数的几何意义曲线的切线的斜率即为函数的导数。3.可导与连续的关系由导数定义可知：可导连续(二)曲线的切线方程及法线方程(三)求导公式函数在任意点x处的导数仍是x的函数，称为f(x)的导函数。1.基本导数表2.函数和、差、积、商的导数3.复合函数和反函数的导数(四)隐函数的导数利用先取对数再求导的求导方法称为对数求导法。(五)对

2、数求导法(六)高阶导数1.高阶导数概念为了形式上统一二阶及二阶以上阶导数统称为高阶导数(七)微分1.微分的定义微分是微积分学中又一基本概念，它和导数有着极其密切的关系。定义：设函数y=f(x)在x0的某个邻域内有定义,如果存在一个与Δx无关的量A及一个Δx的高阶无穷小o(Δx)，使得函数增量Δy可表示为Δy=AΔx+o(Δx)，则称函数f(x)在点x0处微分存在,AΔx称为函数在x0处的微分，若函数f(x)在点x0的微分存在，则称函数在该点可微。3.微分与导数的关系2.微分的几何意义为了形式上统一，记dx=Δx，则dy=f'(x)dx任意点x处的微分称为函数的微分

3、，记作dy或df(x)即dy=f'(x)Δx4.基本微分表和微分运算法则微分运算法则5.微分形式不变性这一性质又称微分形式不变性。（一）洛必达法则§2.2.导数的应用(二)导数的应用1.函数单调性的判别法如果函数可导的话，导数与函数的增减有很大的关系。定理1的条件结论可改写成：列表讨论一般来说，用导数为零的点来划分单调区间，有时，导数不存在的点也可用来划分单调区间。“”表示单调增加“”表示单调减少。2.函数的极值及其求法极小值,极大值统称极值，极小点,极大点统称极值点。注意：极小值、极大值与最小值、最大值的差异。对可导函数来说，极值点必为驻点，而驻点不一定是极值点

4、。什么条件下驻点必为极值点呢？x1x2y0xy0x1x2x3.曲线的凹凸性用定义来判定函数f(x)的图形是凹还是凸是非常困难的，下面给出充分条件。4.曲线的拐点我们把曲线凹凸性发生转变的转折点称为拐点。2）水平渐近线1）垂直渐近线5.曲线的渐近线6.最大值、最小值问题由闭区间上连续函数的性质知闭区间的连续函数必能取到最大值、最小值。最大(小)值必在端点或极大(小)点处取到。所以只要计算端点值和可能极值点的函数值加以比较即可。第三章中值定理及导数的应用3.1中值定理3.2罗必塔法则3.3函数的单调性3.4函数的极值3.5函数的最值3.6函数的凹凸性及拐点，函数的图像

5、一、主要内容㈠中值定理1.罗尔定理:P63满足条件:如果函数2.拉格朗日定理：P64满足条件:如果函数例题：P66例1，2㈡罗必塔法则：P67,68则1.认真掌握课本P68-69的例题2.独立完成P70的习题（用罗必塔法则求极限）（2）解：（1）解：例．求下列极限（3）解：（4）解法1：(对数法）设所以解法2：(指数法）㈢导数的应用1.切线方程和法线方程：2.曲线的单调性:P71定理1求单调区间的4个步骤：（1）确定函数的定义域，求出导数（2）求出导数等于0（驻点）和导数不存在的点（3）根据（2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定在每个区间的符号（4）判断：注：

6、单调区间无所谓开、闭区间，一般为开区间掌握P71例题1-4证明：（采用函数的单调性证明）例3.证明:证明:设所以从而因此解：设所以从而因此3.函数的极值⑴极值的定义：P72⑵极值存在的必要条件：P72定理2（3）极值点的取值范围：驻点或不可导点。⑶极值存在的充分条件：定理1(极值的第一充分条件）：P73定理3定理2：(极值的第二充分条件）P74定理4（4）求极值的4个步骤：P73（1）确定函数的定义域，求出导数（2）求出导数等于0（驻点）和导数不存在的点（3）根据（2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定在每个区间的符号（4）判断（2）中的点是否是极值点，是极大值

7、还是极小值理解教材P71-74的例题5至例题7例求函数的单调增减区间和极值。4.函数的最大值和最小值(1)闭区间上连续函数的最值的求法：只要算出所有驻点和不可导点以及端点处的函数值，再来比较这些值的大小，即能求出函数的最值。(2)当函数在一个区间内可导且只有一个驻点，并且这个驻点是函数的极值点，那么这个驻点就是函数的最值点。(3)在实际问题中，往往根据问题的性质就可以判定函数确有最大值或最小值，而且必在的定义域区间取得，此时，如果函数在定义域区间内只有一个驻点，那么往往不经讨论就能断定是最大值或最小值。理解P75-76的例题8-11x2a-2xxCBAD例．欲围一

8、个面积为1