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《2019年 概率论与数理统计PPT课件第二章随机向量及其分布.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1§2.3连续型随机变量一.连续型随机变量的概念与性质在线段上随机投点的位置,温度、气压、电压、电流等物理量等等,理论上可以取到某个区间的任何实数值对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式，从而得到连续型随机变量的概念2设X是随机变量,如果存在非负函数使得对任何满足的有定义3.1则称X是连续型随机变量,称是X的概率密度函数,简称为概率密度或密度3故X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度若x是f(x)的连续点，则=f(x)
2、概率密度的意义4要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度f(x)xo5若不计高阶无穷小，有它表示随机变量X取值于的概率近似等于在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似6由定义知道，概率密度f(x)具有以下性质f(x)0x1概率密度性质这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某X的概率密度函数的充要条件7这是因为注:由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义,我们所关心的是它在某一区间上取值的问
3、题8对数集A(严格意义下要求可测性),9例1设X是连续型随机变量，其密度函数为解:⑴．由密度函数的性质求：⑴常数c;10例1（续）11例1（续）12例2某电子元件的寿命（单位：小时）是以为密度函数的连续型随机变量．求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率解:设A={某元件在使用的前150小时内需要更换}13例2（续）检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重贝努里试验B={5个元件中恰有2个的使用寿命不超过150小时}14二.几种常用的连续型随机变量1.均匀分布(Uniform分布)则称X服从区间上的均匀分布,对,如果X的密度是记作15均匀分布密度函数演示16X取值在区
4、间(a,b)上，并且取值在(a,b)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则X具有(a,b)上的均匀分布均匀分布的概率背景17XXabxll0即在区间（a,b）上服从均匀分布的随机变量X，落在区间（a,b）中任意等长度的子区间内的可能性是相同的均匀分布的意义18说明1.类似地，我们可以定义区间还可以将密度写成2.采用的示性函数上的均匀分布19例3设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率解:设该乘客于7时X分到达此站则X服从区间[0,30]上的均匀分布20例3（续）令：B={候车时间
5、不超过5分钟}212.指数分布(Exponential分布)对正常数,如果X的密度是则称X服从参数为的指数分布记作22指数分布的另一种等价定义23指数分布密度函数图形演示24例4设时间内有粒子放射出来,设X为第一个粒子发射出来的时刻，则25对任何有即X的概率密度为例4（续）26正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高斯分布德莫佛德莫佛（DeMoivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面3.正态分布(Normal分布)27正态分布（高斯分布）设是常数,是正常数.如果X的密度是则称X服从参数为的正态分布,记作28正面图案：德国数学家、物
6、理学家和天文学家高斯头像29正态分布密度函数演示30正态分布是应用最广泛、最重要的一种连续型分布正态分布的概率背景与应用例如:某地的年降雨量;人的生理特征尺寸如身高、体重等;测量误差,如射击目标的水平或垂直偏差;信号噪声,等等都服从或近似服从正态分布31这是用上海2019年年降雨量的数据画出的频率直方图从直方图可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布年降雨量问题32这是用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图红线是拟合的正态密度曲线可见，某大学男大学生的身高服从正态分布身高问题33此外，人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反
7、映了服从正态分布的随机变量的特点身高问题（续）34⑴．正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布⑵．正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的⑶．正态分布可以作为许多分布的近似分布说明35有些分布(如二项分布、泊松分
