§5-7晶体中电子能态密度.pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯精品资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯§5-7晶体中电子的能态密度5．7．1带底附近的能态密度在本章第一节中，我们已经得到自由电子的态密度N（E），3212m2N(E)4VE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2h⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-7-1）而且N(E)~E的关系曲线已由图5-7-1给出。晶体中电子受到周期性势场的作用，其能量E(k)与波矢的关系不再是抛物线性质，因此式（5-7-1）不再适用于晶体中电子。下面以紧束缚理论的简立方结构晶

2、格的s态电子状态为例，分析晶体中电子态密度的知识。图5-7-1自由电子能态密度由前面的紧束缚理论，我们已经得到简立方结构晶格的s能带的E(k)形式为：EksJ02J1coskxacoskyacoskza⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-7-2）其中能量极小植在Γ点k=(0,0,0)处，其能量为EksJ06J1，所以在Γ点附近的能量，可以2通过将E(k)展开为在k=0处的泰勒级数而得到，以cosx1x2L，取前两项代入，可以得到：122222222EksJ02J13akxkykzEs()J1

3、akxkykz⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-7-3）2在第五节，我们已经根据有效质量的定义，算得简立方晶格s带Γ点处的有效质量为一个标量，2hm*0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-7-4）22aJ1代入后，可得到22hkEkEs()*⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-7-5）2m*式（5-7-5）表明：在能带底k=0附近，等能面是球面，如果以E(k)Es()及m分别代替自由电子的能量E及质量m，就可得到晶体中电子在能带底附近的能态密

4、度函数：*2m3122N(E)4V(2)[E(k)Es()]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-7-6）h5．7．2带顶附近的能态密度能带顶在k(a,a,a)的R点处，容易知道，其能量为EkJ6J。以R点附近的s011⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯精品资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯波矢k(kx,ky,kz)代入E(k)表达式中，就得到在能量极大值附近的能量表达式：aaaEksJ02J1[cos(kxa)cos(kya)cos(kza)]⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5

5、-7-7）再利用(cos()coscossinsin，就可得到：E(k)sJ02J1(coskxacoskyacoskza)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-7-8）2将式中余弦函数展开为cosx1x2L后，上式变成：12222E(k)sJ02J1[3a(kxkykz)]22h222Es(R)*[kxkykz]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-7-9）2m或写成2h222Es(R)E(k)*[kxkykz]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-7-10）2m2*h式中m2，ki是波

6、矢k与能带顶R的波矢之差。所以，若以R点为原点建立坐标系kx,ky,kz轴，2aJ1则ki的意义就与ki的意义是一样的。因此，式（5-7-10）表示能量极大值附近的等能面是一些以R点为球心的球面。这样，我们就得到能带极大值附近的态密度函数：*2m3122N(E)4V(2)[Es(R)E(k)]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5-7-11）h虽然，式（5-7-10）和式（5-7-11）是从一个特例出发得到的，但却具有普遍意义。也就是说，当能带极值处的有效质量是各向同性的，等能面是球面时，

7、式（5-7-10）和（5-7-11）均适用。5．7．3非极值点处能态密度当能量远离极值点时，晶体电子的等能面不再是球面。图C5-7-2给出在kz0截面上的简立方晶格电子等能面示意图。从图看出，从原点（Γ点，是能带底）向外，等能面基本上保持为球面的原因在于周期性场的作用，使晶体电子能量下降，为得到与自由电子相同的能量E，晶体电子的波矢k就必然要大。当能A量超过边界上的A点的能量EA时，等能面将不再是完整的闭合面。在顶角C点（能量极大值处）附近，等能面是被分割在顶角附近的球面，到达C点时，等能面缩成几个

8、顶角点。图5-7-2紧束缚近似等能面在能量接近EA时，等能面向外突出，所以，这些等能面之2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯精品资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯间的体积显然比球面之间的体积大，因而所包含的状态代表点也较多，使晶体电子的态密度在接近EA时比自由电E自由电子子的显著增大（见图5-7-3）。当能量超过EA时，由于等近自由电子EC能面开始残破，它们之间的体积愈来愈小，最后下降为零。EA因此，能量在EA到EC之间的态密度将随能量增加而逐