§5-7晶体中电子能态密度.doc

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1、§5-7晶体中电子的能态密度5．7．1带底附近的能态密度在本章第一节中，我们已经得到自由电子的态密度N（E），图5-7-1自由电子能态密度……………………………………………………………………………（5-7-1）而且N(E)~E的关系曲线已由图5-7-1给出。晶体中电子受到周期性势场的作用，其能量E(k)与波矢的关系不再是抛物线性质，因此式（5-7-1）不再适用于晶体中电子。下面以紧束缚理论的简立方结构晶格的s态电子状态为例，分析晶体中电子态密度的知识。由前面的紧束缚理论，我们已经得到简立方结构晶格的s能带的E(k)形式为：……………

2、……………………………………（5-7-2）其中能量极小植在Γ点k=(0,0,0)处，其能量为，所以在Γ点附近的能量，可以通过将展开为在k=0处的泰勒级数而得到，以，取前两项代入，可以得到：…………………（5-7-3）在第五节，我们已经根据有效质量的定义，算得简立方晶格s带Γ点处的有效质量为一个标量，……………………………………………………………………………………………（5-7-4）代入后，可得到…………………………………………………………………………………（5-7-5）式（5-7-5）表明：在能带底k=0附近，等能面是球面，如果以及

3、分别代替自由电子的能量E及质量m，就可得到晶体中电子在能带底附近的能态密度函数：……………………………………………………………（5-7-6）5．7．2带顶附近的能态密度能带顶在的R点处，容易知道，其能量为4/4。以R点附近的波矢代入E(k)表达式中，就得到在能量极大值附近的能量表达式：………………（5-7-7）再利用(，就可得到：…………………………………………（5-7-8）将式中余弦函数展开为后，上式变成：…………………………………………………（5-7-9）或写成………………………………………………（5-7-10）式中，是波矢k与

4、能带顶R的波矢之差。所以，若以R点为原点建立坐标系轴，则的意义就与的意义是一样的。因此，式（5-7-10）表示能量极大值附近的等能面是一些以R点为球心的球面。这样，我们就得到能带极大值附近的态密度函数：…………………………………………………………（5-7-11）虽然，式（5-7-10）和式（5-7-11）是从一个特例出发得到的，但却具有普遍意义。也就是说，当能带极值处的有效质量是各向同性的，等能面是球面时，式（5-7-10）和（5-7-11）均适用。5．7．3非极值点处能态密度图5-7-2紧束缚近似等能面AC当能量远离极值点时，晶体

5、电子的等能面不再是球面。图5-7-2给出在截面上的简立方晶格电子等能面示意图。从图看出，从原点（Γ点，是能带底）向外，等能面基本上保持为球面的原因在于周期性场的作用，使晶体电子能量下降，为得到与自由电子相同的能量E，晶体电子的波矢k就必然要大。当能量超过边界上的A点的能量时，等能面将不再是完整的闭合面。在顶角C点（能量极大值处）附近，等能面是被分割在顶角附近的球面，到达C点时，等能面缩成几个顶角点。在能量接近时，等能面向外突出，所以，这些等能面之4/4图5-7-3自由电子与晶体中电子态密度E自由电子近自由电子间的体积显然比球面之间的

6、体积大，因而所包含的状态代表点也较多，使晶体电子的态密度在接近时比自由电子的显著增大（见图5-7-3）。当能量超过时，由于等能面开始残破，它们之间的体积愈来愈小，最后下降为零。因此，能量在到之间的态密度将随能量增加而逐渐减小，最后下降为零，如图5-7-3所示。如果考虑两个没有交叠的能带的态密度，下面一个带的态密度曲线亦如图5-7-3所示，在能带顶处态密度为零。在禁带内亦一直保持为零（因禁带内无电子的量子态存在），当能量到达上面能带的带底时，态密度才又随能量的增加而增加，如图5-7-4（a）所示。如果所考虑的能带有交叠，则两能带态密度

7、也会发生交叠，态密度函数如图5-7-4（b）所示。可见，交叠能带与不交叠能带的态密度函数是很不相同的，这一点，可以从软X射线发射谱中得到证明。（a）(b)图5-7-4（a）不交叠能带（b）交叠能带当晶体受到能量约为电子伏特的电子撞击时，低能带中的一些电子被激发，因而在能带中留下空能级。由于低能带是很窄的，可近似看作是分立能级。当高能带中的电子落入低能带中的空能级上时，就发射出x射线。因这种X射线的波长较长(约100Å)，所以，称之为软x射线．软x射线发射谱的强度I(E)与能量等于E处的态密度N(E)成正比，亦与能量为E的电子向空能级

8、跃迁的几率W(E)(或称发射几率)成正比，即I(E)∝W(E)N(E)图5-7-5金属与非金属的X射线发射谱上式中的W(E)是一个随E连续缓变的函数，所以，可以认为，I(E)主要由E（E)随E的变化来决定。也就是说，软x射线发射谱的形