2019连续型随机变量及其分布ppt课件.ppt

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1、§3连续型随机变量及其分布一、概率密度的概念定义1设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在非负函数f(x),使对任意实数x均有则称X为连续型随机变量,其中函数f(x)称为X的概率密度(函数).概率密度与分布函数均可完整地描述连续型随机变量的统计规律性.由定义知,概率密度f(x)具有以下性质:[求概率][由概率密度求分布函数][由分布函数求概率密度][确定待定参数]二、概率密度的性质性质（1）的几何意义是分布密度曲线总是位于x轴上方；性质（2）的几何意义是分布密度曲线与x轴之间的面积为1；性质（3）的几何意义是X

2、取值于任一区间的概率等于以区间为底，以分布密度曲线为顶的曲边梯形的面积；性质（4）中X的分布函数F(X)的几何意义是分布密度函数以下，x轴上方，从到x的一块面积；概率密度的几何意义注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即证明由此可得连续型随机变量的概率与区间的开闭无关设X为连续型随机变量，X=a是不可能事件,则有若X为离散型随机变量,注意连续型离散型题型1.分布函数和概率密度的判定或确定待定参数题型2.分布函数与概率密度的求法I.求分布函数(1).已知密度函数,用积分求分布函数;(2).未知密度函数,用定义

3、求分布函数.II.求概率密度一般,已知连续型随机变量X的分布函数F(x),则其概率密度为解例1例2设有连续型随机变量X的分布函数为(1).确定常数A,B的值;(2).求密度函数f(x);(3).计算P{X>0.1}.解：(1).由分布函数性质得:则A=1,B=-1.(2).因为所以求导得:(3).P{X>0.1}=1-P{X≤0.1}=1-F(0.1)=1-(1-e-0.1λ)=e-0.1λ;或P{X>0.1}=设随机变量X的概率密度为求X的分布函数。【解】概率密度f(x)在(-∞,+∞)上为分段函数,其分段区间为(-∞,

4、-1],(-1,1],(1,+∞);而分布函数为累积和,故应就x在上述不同区间上积分求F(x).练习例9-续1上例中用到积分公式：大家应复习有关积分的方法与公式。请看P.40-41:例9；例10.1、均匀分布三、几种重要的连续型随机变量定义2设连续型随机变量X具有概率密度则称随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布,记为均匀分布的分布函数均匀分布的概率密度的图形均匀分布的特点是:随机变量X落入(a,b)中任意等长度的小区间内的概率都相等；此概率与子区间的长度成正比，而与子区间的起点无关。均匀分布的分布函数的图形例3设公交车

5、站从上午7时起，每15分钟来一班车.某乘客在7时到7时半之间随机到达该站，试求他的候车时间不超过5分钟的概率.解：该乘客于7时过X分到达该车站.依题意候车时间不超过5分钟，即或故所求概率为：练习设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程有实根的概率.【解】因为r.v.K∽U(0,5),所以K的概率密度为:又方程有实根,当且仅当判别式即或,故事件“方程有实根”的概率为□定义3设连续型随机变量X的概率密度为其中λ>0为常数,则称随机变量X服从参数为θ的指数分布.分布函数为2、指数分布可得：（1）（2）（3）对于任意的，事实上可做如

6、下解释：若令X（小时）表示某一电子元件的寿命.上式意味着：一个已经用了s小时为损坏的电子元件，能够再用t小时以上的概率，与一个新的电子元件能够使用t小时以上的概率相同。这看起来有点不可思议，实际上，它表明该电子元件的损坏，纯粹是由随机因素造成的，元件的衰老作用并不显著.形象地说,指数分布是“永远年轻”的,把过去的经历(已经活了s年)全忘记了.这个性质称为指数分布的“无记忆性”,应用与背景某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命,电力设备的寿命,动物的寿命等都服从指数分布.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(

7、分钟)服从指数分布,其概率密度为某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开.他一个月要到银行5次.以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,写出Y的分布律,并求P{Y≥1}.解：这是一道综合题:指数分布+二项分布.先求“他未等到服务而离开”的概率:例4λ=1/5因为r.v.Y∽B(5,e-2),所以Y的分布律为:于是,“一个月内至少有一次未等到服务而离开”的概率为:□例5设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为=1/2000的指数分布(单位:小时)(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一

8、只这种灯管已经正常使用了1000小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.X的分布函数为解指数分布的重要性质:“无记忆性”.3、正态分布定义4设连续型随机变量X的概率密度为其中μ,σ(σ>0)均为常数,则称随机变量X服从参数为μ,σ的正态分布,记为分布函数为此积分是积不出来的!正态概率密度函数的几何特