函数性质总结.pdf

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1、.北京四中函数的基本性质一、基础知识梳理1、函数的单调性：一般地，设函数f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某个给定区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上的减函数。认知：①函数的单调性是对区间而言的，它是函数的“局部”性质，不同于函数的奇偶性，函数的奇偶性是对整个定义域而言的，是函数“整体”性质；②对某一函数y=f（x）

2、，它在某区间上可能有单调性，也可能没有单调性；即使是同一个函数它在某区间上可能单调增，而在另外一区间上可能单调减；③对某一函数y=f（x），它在区间（a，b）与（c，d）上都是单调增（减）函数，不能说y=f（x）在（a，b）∪（c，d）上一定是单调增（减）函数；④定义均为充要性命题,因此,在函数的单调性之下,自变量的不等关系与相应函数值间的不等关系相互贯通:f(x)在D上为增函数且f(),,D.⑤单调性的定义,是判断、证明函数的单调性以及寻求函数单调区间的基本依据.应用函数的单调性定义

3、的解题三部曲为(Ⅰ)设值定大小:设,为给定区间上任意两个自变量值,且<;(Ⅱ)作差并变形:作差f()-f(),并将差式向着有利于判断差式符号的方向变形;(Ⅲ)定号作结论:确定差值的符号,当符号不确定时考虑分类讨论,而后根据定义作出结论.在这里,差式的变形到位与否是解题成功的关键环节,差式变形的主要手段有通分,分解因式,配方以及有理化分母(或分子)等,其中,应用最为广泛的是分解因式...⑥复合函数y=f[g（x）]的单调性规律是“同则增，异则减”，即外层函数f（u）与内层函数g（x）若具有相同的单调性，则y=f[g（x）]必定是增函数；若具有不同

4、的单调性，则y=f[g（x）]必定是减函数.讨论复合函数单调性的步骤是：第一步，求出复合函数的定义域；第二步，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判断其单调性；第三步，把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；第四步，根据复合函数的单调性规律判断其单调性.2、函数的奇偶性：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)则奇函数。对函数奇偶性定义的理解与运用应注意以下方面：①函数的定义域在数轴上所示的

5、区间关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件，所以判断函数为奇函2数或偶函数，首先看定义域是否关于原点对称，如f(x)=x，x∈(-1,1]，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；②函数f(x)为奇函数，且在x=0处有意义，则f(0)=0；③奇偶性的定义是判断函数奇偶性的依据，对于不易找到函数f(-x)和±f(x)关系时，常用以下等价形式：当f(x)≠0时，也可用来判断。例如：判断函数的奇偶性，可由x∈R，得f(x)为奇函数。④f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0.⑤可利用定义说明以下常见结论：奇±奇=偶，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶

6、×偶=偶，奇×偶=奇奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。⑥定义在R上的任一函数f(x)，可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和。..其中为奇函数，为偶函数。⑦奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。[典型例题]例1、研究二次函数的单调性，并加以证明.分析：研究函数的单调性，首先得确定函数的单调区间，然后讨论函数在这个区间上是递增还是递减.从二次函数的图象可知，是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=1，因此这个函数的定义域R分为（－∞，1]和[1，+∞）两个单调区间，在（－∞，1）上递减，在

7、[1，+∞）上递增.证明：设x1、x2是[1，+∞）内的任意两个实数，且x1＜x2，22则有f（x1）=2x1－4x1－1，f（x2）=2x2－4x2－1，22f（x2）－f（x1）=2（x2－x1）－4（x2－x1）=2（x2+x1）（x2－x1）－4（x2－x1）=2（x2－x1）（x1+x2－2）由于x1＜x2时，有x2－x1＞0，又由于x1≥1，x2＞1，有x1+x2＞2，即x1+x2－2＞0，所以f（x2）－f（x1）=2（x2－x1）（x1+x2－2）＞0，即f（x2）＞f（x1）.所以f（x）在[1，+∞）上递增.用同样的方法可证

8、明f（x）在（－∞，1]上递减.点评：本题的研究方法是先观察，其次对观察结果进行证明.这是数学研究的基本方法.从观察到证明的过程，也是从直观的粗略性向