二次函数图像与性质总结.pdf

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1、..二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式21.二次函数基本形式：yax的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随a0向上0，0y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值0．x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下0，0y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值0．a的绝对值越大，抛物线的开口越小。22.yaxc的性质：上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随a0向上0，cy轴x的增大而减小；x0时，y有最小值c．x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下0，cy

2、轴x的增大而增大；x0时，y有最大值c．23.yaxh的性质：左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质xh时，y随x的增大而增大；xh时，ya0向上h，0X=h随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．xh时，y随x的增大而减小；xh时，ya0向下h，0X=h随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．24.yaxhk的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质xh时，y随x的增大而增大；xh时，ya0向上h，kX=h随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．xh时，y随x的增大而减小；xh时，ya0向下h，kX=h随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．二、二

3、次函数图象的平移1.平移步骤：;....2方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k；2⑵保持抛物线yax的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移

4、k

5、个单位y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移

6、k

7、个单位平移

8、k

9、个单位平移

10、k

11、个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移

12、k

13、个单位2y=a(x-h)y=a(x-h)2+k向上(k>0)【或下(k<0)】平移

14、k

15、个单位2.平移规律在原有函数

16、的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：22⑴yaxbxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yaxbxc变成22yaxbxcm（或yaxbxcm）22⑵yaxbxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yaxbxc变成22ya(xm)b(xm)c（或ya(xm)b(xm)c）22三、二次函数yaxhk与yaxbxc的比较22从解析式上看，yaxhk与yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配222b4acbb4acb方可以得到前者，即yax，其中h，k．2a4a2a4a2四、二次函数yaxbxc图象的

17、画法22五点绘图法：利用配方法将二次函数yaxbxc化为顶点式ya(xh)k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.2五、二次函数yaxbxc的性质2bb4acb1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．2a2a4a;....bbb当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随

18、x的增大而增大；当x2a2a2a24acb时，y有最小值．4a2bb4acb2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为，．当2a2a4abbbx时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y2a2a2a24acb有最大值．4a六、二次函数解析式的表示方法21.一般式：yaxbxc（a，b，c为常数，a0）；22.顶点式：ya(xh)k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写2成交

19、点式，只有抛物线与x轴有交点，即b4ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a2二次函数yaxbxc中，a作为二次项系数，显然a0．⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，b当b0时，

20、0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2ab当b0时，0，即抛物线的对称