二次函数-图像与性质总结

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1、-二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：yax2的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a00，0x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随向上y轴x0时，y有最小值0．x的增大而减小；a00，0x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随向下y轴x0时，y有最大值0．x的增大而增大；a的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.y2c的性质：ax上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a00，cx0时，y随x的增大而增大；x0时，y随向上y轴x0时，y有最小值c．x的增大而减小；a0向下0，cx0时，y随x的增大而减小；x0时，

2、y随y轴x0时，y有最大值c．x的增大而增大；23.yaxh的性质：左加右减。---a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h，0X=hxh时，y随x的增大而增大；随x的增大而减小；xh时，a0向下h，0X=hxh时，y随x的增大而减小；随x的增大而增大；xh时，xh时，yy有最小值0．xh时，yy有最大值0．---4.yax2hk的性质：---a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0h，kxh时，y随x的增大而增大；xh时，y向上X=hxh时，y有最小值k．随x的增大而减小；a0h，kxh时，y随x的增大而减小；xh时，y向下X=hxh时，y有

3、最大值k．随x的增大而增大；二、二次函数图象的平移1.平移步骤：---1---方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxh2h，k；k，确定其顶点坐标⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移

4、k

5、个单位y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移

6、k

7、个单位平移

8、k

9、个单位平移

10、k

11、个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移

12、k

13、个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移

14、k

15、个单

16、位y=a(x-h)2+k2.平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴yax2bxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yax2bxc变成yax2bxcm（或yax2bxcm）⑵yax2bxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yax2bxc变成ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）三、二次函数yaxh2ax2bxc的比较k与y从解析式上看，yax2k与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配h2b2b，k4acb2方可以得到前者，即yaxb4ac，其

17、中h．2a4a2a4a四、二次函数yax2bxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数22，yaxbxc化为顶点式ya(xh)k确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们---选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点1，，2，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.x0x0画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.五、二次函数y2bxc的性质axb，4ac21.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为xb，顶点坐标为b．

18、2a2a4a---2---当xb时，y随x的增大而减小；当xb时，y随x的增大而增大；当xb2a2a2a时，y有最小值4acb2．4a2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为xb，顶点坐标为b，4acb2．当2a2a4axb时，y随x的增大而增大；当xb时，y随x的增大而减小；当xb时，y2a2a2a有最大值4acb2．4a六、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y2bxc（a，b，c为常数，a0）；ax2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：

19、任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2.一次项

20、系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2