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《2003年考研数学一试题及完全解析(Word版).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）1ln(1x2)1（1）lim(cosx)=.x0eg(x)lim(f(x)1)g(x)【分析】1型未定式，化为指数函数或利用公式limf(x)(1)=e进行计算求极限均可.11limlncosx22ln(1x)x0ln(1x)【详解1】lim(cosx)=e,x0sinxlncosxlncosxcosx1而limlimlim，22x0x0x02x2ln(1x)x112故原式=e.e12x121【详解
2、2】因为lim(cosx1)lim，22x0x0ln(1x)x2112所以原式=e.e【评注】本题属常规题型22（2）曲面zxy与平面2x4yz0平行的切平面的方程是2x4yz5.【分析】待求平面的法矢量为n{2,4,1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方22程,而切点坐标可根据曲面zxy切平面的法矢量与n{2,4,1}平行确定.22【详解】令F(x,y,z)zxy，则Fx2x，Fy2y，Fz1.设切点坐标为(x0,y0,z0)，则切平面的法矢量为{2x0,2y0,1}，其与已知平面..2x4yz0平行，因此有2x02y01，2
3、4122可解得x01,y02，相应地有z0x0y05.故所求的切平面方程为2(x1)4(y2)(z5)0，即2x4yz5.【评注】本题属基本题型。2（3）设xancosnx(x)，则a2=1.n022【分析】将f(x)x(x)展开为余弦级数xancosnx(x)，n02其系数计算公式为anf(x)cosnxdx.0【详解】根据余弦级数的定义，有2212a2xcos2xdxxdsin2x0012=[xsin2xsin2x2xdx]0011=xdcos2x[xcos2xcos2xdx]000=1.【评注】本题属基本题型，主要考查傅里叶
4、级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.21111（4）从R的基1,2到基1,2的过渡矩阵为011223.12【分析】n维向量空间中，从基1,2,,n到基1,2,,n的过渡矩阵P满足1[1,2,,n]=[1,2,,n]P，因此过渡矩阵P为：P=[1,2,,n][1,2,,n].21111【详解】根据定义，从R的基1,2到基1,2的过渡矩0112阵为..111111P=[1,2][1,2].0112111123=.011212【评注】本题属基本题型。（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为6x,0xy1,f(x,y)0,其他，1
5、则P{XY1}.4【分析】已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率P{g(X,Y)z0}，一般可转化为二重积分P{g(X,Y)z0}=f(x,y)dxdy进行计算.g(x,y)z0【详解】由题设，有11x2P{XY1}f(x,y)dxdydx6xdy0xxy11212=(6x12x)dx.04y1D1O1x2【评注】本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式xy1的公共部分D，再在其上积分即可.完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第（5）小题.（6
6、）已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布N(,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49).(注：标准正态分布函数值(1.96)0.975,(1.645)0.95.)2【分析】已知方差1，对正态总体的数学期望进行估计，可根据..XX~N(0,1)，由P{u}1确定临界值u，进而确定相应的置信区间.1122nn【详解】由题设，10.95，可见0.05.于是查标准正态分布表知u1.96.2X本题n=16,x40,因此，根据P{1.96}0.95，有1
7、n40P{1.96}0.95，即P{39.51,40.49}0.95，故的置信度为0.95的置116信区间是(39.51,40.49).【评注】本题属基本题型.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在(,)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[C]yOx【分析】答案与极值点个数有
8、关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0则是导数不存在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为
