1995年考研数学一试题及答案解析.pdf

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1、1995年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题2(1)lim13()+=xsinx.x→06【答】e.【详解1】用第二类重要极限:6x21⎧⎫sinx6lim13()+=+xsinxxlim⎨⎬()13xe3=.xx→→00⎩⎭【详解2】化为指数函数求极限:226ln13(+x)limln13()+xlimlim13()+=xsinxeeexx→→00sinxx=3=6.x→0d02(2)xcostdt=.dx∫x20224【答】costdt−2xcosx.∫x2【详解】dd00022222∫∫xx22xcostdt==(xcostdt)∫x2costdt

2、x+cos()x()−2xdxdx0224=−costdt2xcosx.∫x2(3)设()abc×⋅=2,则⎡⎤⎣⎦()abbcca+×+⋅+=()().【答】4.【详解】⎡⎤⎣⎦()abbcca+×+⋅+()()=+×⋅+++×⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()abbcaabcca=+×+×⋅()()abcbca=×⋅+×⋅=()()abcabc4.∞n21n−(4)幂级数∑nnx的收敛半径R＝.n=123+−()【答】3.n21n−an+112【详解】令ax=,则当lim=x<1时，nnnn→∞23+−()an32即x<3,也即x<3时，此幂级数收敛，因此收敛半径为3.⎡1

3、⎤00⎢⎥3⎢⎥-1⎢1⎥(5)设三阶方阵A、B满足关系式：ABA=6A+BA,且A=00,则B=.⎢4⎥⎢⎥1⎢00⎥⎢⎣7⎥⎦⎡⎤300⎢⎥【答】020.⎢⎥⎢⎥⎣⎦001-1-1【详解】在已知等式ABA=6A+BA两边右乘以A，得-1AB=6E+B,−1⎡⎤200⎡⎤300−1−1⎢⎥⎢⎥于是BAE=−=66()030=020.⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦006⎢⎥⎣⎦001二、选择题⎧xyz+++=3210（1）设有直线L:⎨及平面π:4xyz−2+−=20,则直线L⎩21xyz−−+=030（A）平行于π.（B）在π上.（C）垂直于π.（D）与π斜交.【】【答】应选（C）.【详解】

4、直线L的方向向量s为ijks=×{}1,3,22,1,1013{−−}=2=−74,2,1{}−211−−0与平面π的法向量n=−{4,2,1}平行，应此直线L垂直于π.''''（2）设在[0,1]上fx()>0,则ffff(0110)、、()()−()或f()01−f()的大小顺序是''''(A)ffff()1010>>−()()().(B)ffff(1100)>−>()()().''''(C)ffff()1010−>>()()().(D)ffff(1010)>−>()()().【】【答】应选（B）.'''【详解】由fx()>0,知f()x单调增加，又'fff()10−=()(

5、)(ξξ1−<0)01(<),'''根据fff()01<<()ξ()知，''ffff()0101<−<()()().可见正确选项为(B).（3）设f()x可导，Fxfx()=+()(1sin,x)则f(00)=是Fx()在x=0处可导的（A）充分必要条件.（B）充分条件但非必要条件.（C）必要条件但非充分条件.（D）既非充分条件又非必要条件.【】【答】应选（A）.【详解】因为'FxF()(−−01)fx()(sinxf)−(0)F−()0l==imlim−−xx→→00xx−0⎡⎤fxf()−()0sinx=−lim⎢⎥fx()−x→0⎣⎦xx'=−ff()0()0,'FxF()

6、(−+01)fx()(sinxf)−(0)F+()0l==imlim++xx→→00xx−0⎡⎤fxf()−()0sinx=+lim⎢⎥fx()+x→0⎣⎦xx'=+ff()0()0,'''''可见，F()0存在⇔FFfffff()0000000=⇔−=+⇔=()()()()()()0.−+因此正确选项为（A）.n⎛⎞1(4)设u=−()1ln1⎜⎟+,则级数n⎝⎠n∞∞∞∞22（A）∑un与∑un都收敛.（B）∑un与∑un都发散.n=1n=1n=1n=1∞∞∞∞22（C）∑un收敛而∑un发散.(D)∑un发散而∑un收敛.n=1n=1n=1n=1【】【答】应选（C）.⎛⎞1

7、【详解】因为v=+ln1⎜⎟单调递减且limv=0,nn⎝⎠nn→∞∞∞n由莱布尼茨判别法知级数∑∑uvnn=−()1收敛，nn==11∞22⎛⎞111而un=+ln⎜⎟1~,且∑发散，⎝⎠nnn=1n∞2因此∑un也发散.n=1故正确选项为（C）.⎡⎤aaa111213⎡a21a22a23⎤⎡010⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥(5)设A=aaa,,B==aaaP100,⎢⎥212223⎢111213⎥1⎢⎥⎢⎥⎣⎦aaa⎢⎣aaaaaa+++⎥⎦⎢⎣001⎥⎦3132333111321233