2013年考研数学一试题及答案解析.pdf

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1、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学一年全国硕士研究生入学统一考试数学一一一试题试题一一一、一、、、选择题选择题选择题:选择题:::1111~~~~8888小题小题小题,小题,,,每小题每小题每小题4每小题444分分分分,,,,共共共共32323232分分分分....下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中,下列每题给出的四个选项中,,,只有一个选项符合题只有一个选项符合题目要求的目要求的,目要求的,,,请将所选项前的字母填在请将所选项前的字母填在请将所选项前的字

2、母填在答题纸请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上指定位置上.指定位置上...．．．x-arctanx(1)已知lim=c，其中kc,为常数，且c¹0，则（）kx®0x-11-1(A)k=2,c=(B)k=2,=c(C)k=3,c=(D)2231k=3,=c3【答案】D【解析】因为c¹01x-arctanx洛1-1+x2x2x213-kc=lim=lim=lim=lim=limxkk-1k-12k-1x®0xx®0kxx®0kx(1+x)x®0kxkx®011所以3-=k0,k=3,c==,故选Dk32(2)曲面x+cos(xy)

3、+yz+=x0在点(0,1,1-)的切平面方程为（）（A)x-+=-yz2(B)x++=yz0(C)x-2y+=-z3(D)x--=yz0【答案】A【解析】曲面在点(0,1,-1)处的法向量为®n=(,FFF¢¢,)¢=(2-sin()+1,-sin()+,)xyxyxxyzy=(1,-1,1)xyz(0,1,-1)(0,1,-1)故曲面在点(0,1,-1)处的切面方程为1(-0)-(-1)+(+1)=0,×xyz即x-+=-yz2，选A¥11(3)设fx()=x-,bn=2∫fx()sinnxdxnp(=1,2,L).令sx()

4、=∑bnsinnxp,则20n=19s(-)=4（）3113(A)(B)(C)-(D)-4444【答案】C11-,xxÎ0,122【解析】fx()=-x=211x-,xÎ,122将fx()作奇延拓，得周期函数Fx()，周期T=29则Fx()在点x=-处连续，从而4991111S(-)=(F-)=F(-)=-F()=f()=--444444故选C22222222(4)设Lx:+y=1,L:x+y=2,Lx:+2y=2,L:2x+y=2为四条逆时针方向123433yx的平面曲线，记I=(y+)dx

5、+(2x-)dyi(=1,2,3,4).则max{IIII,,,}=i∫L1234i63（）（A）I（B）I（C）I(D)I1234【答案】D3322yx¶Q¶P2y2y【解析】记P=y+,=2Qx-，则-=-2x--1=1-x+，63¶x¶y2233¶¶2yxQP2yI=y+dx+2x-dy=-dxdy=1-x+dxdy.i∫∫∫∫∫63¶x¶y2LiDiDi51322用D表示L所围区域，则有I=p,=Ip,=I,I=p,I>I>I>I.ii123441

6、328282故选D(5)设ABC,,均为n阶矩阵，若AB=C,且B可逆，则（）(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价【答案】B【解析】将AC,按列分块，A=(,...,aa),C=(,...,gg)1n1n由于AB=C,故b11...b1n(,...,aa).....=(,...,gg)1n1nb...bn1nn即g=ba+...+ba,...,g=ba+...+ba1111

7、n1nn1n1nnn即C的列向量组可由A的列向量线性表示-1由于B可逆，故A=CB，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，选B1a1200(6)矩阵aba与0b0相似的充要条件为（）1a1000(A)a=0,b=2(B)a=0,b为任意常数(C)a=2,b=0(D)a=2,b为任意常数【答案】B1a1200【解析】令A=aba，B=0b0，1a1000因为A为实对称矩阵，B为对角阵，则A与B相似的充要条件是A的特征值分别为2,,0bl-1-a-1l-a

8、-1A的特征方程lE-A=al-b-a=0l-b-a-1-al-1-l-al-1l-a-12=0l-b-a=l(l-2)(l-b)-2a，0-al-1因为l=2是A的特征值，所以2E-A=02所以-2a=0，即a=0.当a=0时，lE-A=